Distribución Binomial y aproximación a la Normal

**i) El número esperado de individuos que no enfermarán.** Primero, definimos las variables del problema. Estamos ante un experimento de Bernoulli (enfermar o no enfermar) que se repite $n=400$ veces de forma independiente. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de individuos que enferman: - $n = 400$ (tamaño de la muestra) - $p = 0.05$ (probabilidad de enfermar) - $q = 1 - p = 0.95$ (probabilidad de no enfermar) La variable $X$ sigue una distribución binomial: $X \sim B(400, 0.05)$. El apartado nos pide el número esperado (la esperanza matemática) de individuos que **no enfermarán**. Si llamamos $Y$ a los que no enferman, su esperanza es: $$E[Y] = n \cdot q$$ $$E[Y] = 400 \cdot 0.95 = 380$$ 💡 **Tip:** El número esperado o esperanza en una distribución binomial se calcula siempre como el producto del número de ensayos por la probabilidad del éxito buscado ($n \cdot p$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{380 \text{ individuos}}$$

Para calcular probabilidades con $n=400$, es inviable usar la fórmula de la binomial. Debemos comprobar si podemos aproximar a una distribución Normal. Condiciones de aproximación: 1. $n \cdot p = 400 \cdot 0.05 = 20 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 400 \cdot 0.95 = 380 \gt 5$ Como ambas son mayores que 5, podemos aproximar la binomial $X \sim B(n, p)$ a una normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$ donde: - $\mu = n \cdot p = 20$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{400 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.36$ Por tanto, trabajaremos con $X' \sim N(20, 4.36)$. 💡 **Tip:** Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), no olvides aplicar la corrección de continuidad de Yates cuando calcules probabilidades puntuales o de intervalos.

**ii) La probabilidad de que el número de individuos que enferman sea como mínimo igual a 24** Buscamos $P(X \ge 24)$. Aplicando la corrección de continuidad de Yates, pasamos de la variable discreta $X$ a la continua $X'$: $$P(X \ge 24) \approx P(X' \ge 23.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal $N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{23.5 - 20}{4.36}\right) = P\left(Z \ge \frac{3.5}{4.36}\right) \approx P(Z \ge 0.80)$$ Como la tabla nos da valores de $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \ge 0.80) = 1 - P(Z \lt 0.80)$$ Buscando en la tabla $0.8$ en la columna y $0.00$ en la fila, obtenemos $0.7881$: $$1 - 0.7881 = 0.2119$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.2119}$$

**iii) La probabilidad de que el número de individuos que NO enferman sea como mínimo igual a 372.** Sea $Y$ el número de individuos que no enferman. El enunciado pide $P(Y \ge 372)$. Como sabemos que $X + Y = 400$ (enfermos + no enfermos = total), podemos traducir la pregunta a la variable $X$ (enfermos): $$P(Y \ge 372) = P(400 - X \ge 372) = P(-X \ge 372 - 400) = P(-X \ge -28)$$ $$P(X \le 28)$$ Aplicamos de nuevo la aproximación normal con corrección de continuidad: $$P(X \le 28) \approx P(X' \le 28.5)$$ Tipificamos: $$P\left(Z \le \frac{28.5 - 20}{4.36}\right) = P\left(Z \le \frac{8.5}{4.36}\right) \approx P(Z \le 1.95)$$ Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor para $1.9$ en la columna y $0.05$ en la fila, obteniendo $0.9744$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.9744}$$