Intervalo de confianza y longitud para la media poblacional

**i) Determinar un intervalo de confianza para $\mu$ de nivel de confianza igual a 0,9.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa el sueldo en miles de euros: - Población: $X \sim N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 0,3$. - Tamaño de la muestra: $n = 36$. - Media muestral: $\bar{x} = 2,23$. Para construir un intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$, utilizaremos la fórmula: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para variables normales con desviación típica conocida, el intervalo de confianza se centra en la media obtenida de la muestra.

Para un nivel de confianza del $0,9$ ($90\%$), calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10$. 2. $\alpha/2 = 0,05$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0,05 = 0,95$. Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0,95$ se encuentra exactamente a mitad de camino entre $z = 1,64$ ($0,9495$) y $z = 1,65$ ($0,9505$): $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto de probabilidad no está en la tabla, se suele tomar el punto medio de los valores de $z$ más cercanos o el más próximo.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,645 \cdot \frac{0,3}{\sqrt{36}} = 1,645 \cdot \frac{0,3}{6} = 1,645 \cdot 0,05 = 0,08225$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando el error a la media muestral $\bar{x} = 2,23$: - Límite inferior: $2,23 - 0,08225 = 2,14775$ - Límite superior: $2,23 + 0,08225 = 2,31225$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (2,14775; 2,31225)}$$

**ii) Hallar la longitud del intervalo de confianza si el nivel de confianza es igual a 0,99.** Repetimos el proceso para encontrar el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ con un nivel de confianza del $99\%$ ($0,99$): 1. $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$. 2. $\alpha/2 = 0,005$. 3. Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$. Mirando en las tablas de la normal estándar, el valor más aproximado para $0,995$ suele tomarse como: $$z_{\alpha/2} = 2,575$$ (Valor intermedio entre $2,57$ y $2,58$).

La longitud ($L$) de un intervalo de confianza es la distancia entre sus extremos, que equivale a dos veces el error: $$L = 2 \cdot E = 2 \cdot \left( z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los valores: $$L = 2 \cdot \left( 2,575 \cdot \frac{0,3}{6} \right) = 2 \cdot (2,575 \cdot 0,05) = 2 \cdot 0,12875 = 0,2575$$ 💡 **Tip:** La longitud del intervalo siempre aumenta si aumentamos el nivel de confianza (manteniendo el resto de parámetros constantes), ya que queremos estar "más seguros" de que el parámetro está dentro. ✅ **Resultado (Longitud):** $$\boxed{L = 0,2575}$$