Optimización del coste de un marco rectangular

**i) Las dimensiones de la valla para que el coste sea mínimo.** Primero, definimos las variables del problema: - Sea $x$ la longitud del tramo **horizontal** (base) en metros. - Sea $y$ la longitud del tramo **vertical** (altura) en metros. El enunciado nos indica que el área de la valla debe ser de $12\text{ m}^2$, por lo que tenemos la siguiente restricción: $$A = x \cdot y = 12$$ De aquí podemos despejar una variable en función de la otra para facilitar el cálculo posterior: $$y = \frac{12}{x}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica la magnitud a maximizar/minimizar (función objetivo) y la relación entre variables (restricción).

El coste total del marco depende de la longitud de sus cuatro lados (dos horizontales y dos verticales) y del precio por metro de cada uno: - Coste tramos horizontales: $2 \text{ lados} \cdot x \text{ metros} \cdot 1,5 \text{ €/m} = 3x$ - Coste tramos verticales: $2 \text{ lados} \cdot y \text{ metros} \cdot 2 \text{ €/m} = 4y$ La función de coste total $C(x, y)$ es: $$C(x, y) = 3x + 4y$$ Sustituyendo $y = \dfrac{12}{x}$ obtenemos la función dependiente de una sola variable: $$C(x) = 3x + 4\left(\frac{12}{x}\right) = 3x + \frac{48}{x}$$ El dominio de esta función para nuestro contexto es $x \in (0, +\infty)$.

Para encontrar el coste mínimo, derivamos la función $C(x)$ e igualamos a cero: $$C(x) = 3x + 48x^{-1}$$ $$C'(x) = 3 - 48x^{-2} = 3 - \frac{48}{x^2}$$ Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$3 - \frac{48}{x^2} = 0 \implies 3 = \frac{48}{x^2} \implies 3x^2 = 48$$ $$x^2 = \frac{48}{3} = 16 \implies x = \sqrt{16} = 4$$ Descartamos la solución negativa $x = -4$ ya que una dimensión física debe ser positiva. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$.

Para asegurar que en $x = 4$ existe un mínimo, usamos el criterio de la segunda derivada: $$C''(x) = \left(3 - 48x^{-2}\right)' = 0 - 48(-2)x^{-3} = \frac{96}{x^3}$$ Evaluamos en $x = 4$: $$C''(4) = \frac{96}{4^3} = \frac{96}{64} > 0$$ Como $C''(4) > 0$, confirmamos que hay un **mínimo relativo** en $x = 4$. Calculamos ahora la otra dimensión: $$y = \frac{12}{4} = 3\text{ m}$$ ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{\text{Base (horizontal) } = 4\text{ m, Altura (vertical) } = 3\text{ m}}$$

**ii) ¿Cuanto cuesta el marco?** Para calcular el coste total del marco, sustituimos el valor de $x = 4$ en la función de coste original: $$C(4) = 3(4) + \frac{48}{4}$$ $$C(4) = 12 + 12 = 24$$ Alternativamente, usando las dimensiones halladas: - Coste horizontal: $2 \cdot 4 \cdot 1,5 = 12\text{ €}$ - Coste vertical: $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12\text{ €}$ - Coste total: $12 + 12 = 24\text{ €}$ ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{\text{Coste total} = 24\text{ euros}}$$