Área entre una parábola y una recta

Para resolver este problema, primero debemos identificar las funciones que delimitan la región y encontrar sus puntos de intersección. Las funciones dadas son: - Una parábola: $f(x) = x^2$ - Una recta: $g(x) = 2x$ Igualamos ambas expresiones para hallar los valores de $x$ donde se cruzan: $$x^2 = 2x$$ $$x^2 - 2x = 0$$ Factoreamos sacando factor común $x$: $$x(x - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $x_1 = 0 \implies y_1 = 2(0) = 0 \implies P_1(0, 0)$ 2. $x_2 = 2 \implies y_2 = 2(2) = 4 \implies P_2(2, 4)$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte son fundamentales para establecer los límites de integración al calcular el área.

**i) Representar gráficamente la zona.** Representamos la parábola $y = x^2$ (que tiene su vértice en el origen) y la recta $y = 2x$ (que pasa por el origen y el punto $(2, 4)$). La zona delimitada es la región comprendida entre ambas curvas desde $x = 0$ hasta $x = 2$. En este intervalo, la recta $y = 2x$ queda por encima de la parábola $y = x^2$. Podemos comprobarlo evaluando un punto intermedio, por ejemplo $x = 1$: - Recta: $y = 2(1) = 2$ - Parábola: $y = 1^2 = 1$ Como $2 \gt 1$, la recta es la función superior.

**ii) Hallar el área de la zona.** El área $A$ de la región encerrada entre dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia entre la función superior e inferior en el intervalo de corte: $$A = \int_{a}^{b} [f_{superior}(x) - f_{inferior}(x)] \, dx$$ En nuestro caso, el intervalo es $[0, 2]$, la función superior es $g(x) = 2x$ y la inferior es $f(x) = x^2$. Por tanto: $$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre restar la función que está "arriba" menos la que está "abajo" para que el resultado del área sea positivo.

Calculamos la integral indefinida primero: $$\int (2x - x^2) \, dx = 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $0$ y $2$: $$A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$$ $$A = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right)$$ $$A = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - 0$$ Realizamos la resta de fracciones: $$A = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,33$$ Como las unidades están en decámetros ($dam$), el área resultante estará en decámetros cuadrados ($dam^2$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{4}{3} \text{ dam}^2}$$