Problema de sistemas de ecuaciones: Clasificación laboral

**¿Cuántas personas están en paro? ¿Cuántas de baja? ¿Cuántas activas?** El primer paso para resolver cualquier problema de álgebra es identificar qué nos preguntan y asignar una letra (incógnita) a cada valor desconocido. Llamaremos: - $x$: número de personas de **baja por enfermedad**. - $y$: número de personas en **paro (parados)**. - $z$: número de personas **activas**. 💡 **Tip:** Aunque puedes asignar las letras en cualquier orden, en este problema es muy útil observar que tanto los parados como los activos se definen en función de los que están de baja. Por eso, elegir la $x$ para los de baja facilitará los siguientes pasos.

A partir del enunciado, traducimos el lenguaje natural a lenguaje algebraico para formar nuestras ecuaciones: 1. El total de personas es 82: $$x + y + z = 82$$ 2. El número de parados ($y$) duplica al de baja ($x$): $$y = 2x$$ 3. El número de activos ($z$) es igual a 9 veces los de baja ($x$) más 10: $$z = 9x + 10$$ Tenemos, por tanto, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 82 \\ y = 2x \\ z = 9x + 10 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Traducir "duplica" como multiplicas por 2, y "9 veces ... más 10" como $9x + 10$.

Dado que ya tenemos la $y$ y la $z$ despejadas en función de $x$ en la segunda y tercera ecuación, el método de **sustitución** es el más rápido. Sustituimos estas expresiones en la primera ecuación: $$x + (2x) + (9x + 10) = 82$$ Ahora, agrupamos los términos con $x$ y los términos numéricos: $$(1 + 2 + 9)x + 10 = 82$$ $$12x + 10 = 82$$ Restamos 10 en ambos lados: $$12x = 82 - 10$$ $$12x = 72$$ Despejamos $x$ dividiendo por 12: $$x = \frac{72}{12} = 6$$ 💡 **Tip:** En problemas de personas, el resultado de la $x$ debe ser siempre un número entero positivo. Si te da decimal, revisa el planteamiento.

Una vez hallado el valor de $x$ (personas de baja), calculamos $y$ (parados) y $z$ (activos) usando las relaciones del paso 2: Para los parados ($y$): $$y = 2x = 2 \cdot 6 = 12$$ Para los activos ($z$): $$z = 9x + 10 = 9 \cdot 6 + 10 = 54 + 10 = 64$$ **Comprobación:** Sumamos todos los grupos para verificar que el total es 82: $$6 + 12 + 64 = 82$$ Como $82 = 82$, la solución es correcta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 12 personas en paro, 6 de baja y 64 activas}}$$