Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**i) Se toma una muestra de 225 personas y se obtiene que la media muestral de gastos en actividades de ocio es igual a 95. Hallar un intervalo de confianza, de nivel de confianza igual a 0,95, para la media de los gastos mensuales en actividades de ocio.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el gasto mensual en ocio (en euros). El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 25)$$ Para el primer apartado, extraemos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 225$ - Media muestral: $\bar{x} = 95$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 25$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media, es fundamental distinguir si nos dan la desviación típica de la población ($\sigma$) o la de la muestra ($s$).

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0,025 = 0,975$$ Mirando en la tabla de la distribución normal $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor $1,96$ es el valor crítico estándar para el $95\%$ de confianza, es muy común en estos ejercicios.

La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \, , \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los valores: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{25}{\sqrt{225}} = 1,96 \cdot \frac{25}{15} = 1,96 \cdot 1,6667 \approx 3,27$$ Calculamos los extremos: - Límite inferior: $95 - 3,27 = 91,73$ - Límite superior: $95 + 3,27 = 98,27$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (91,73 \, , \, 98,27)}$$

**ii) Si se toma un nivel de confianza del 99% ¿cuál es el tamaño muestral necesario para estimar la media de gastos mensuales en actividades de ocio con un error menor de 1 euro?.** Para este apartado, cambian las condiciones: - Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$. - Probabilidad acumulada: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$. Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor $0,995$ se encuentra entre $2,57$ y $2,58$. Habitualmente se toma el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 2,575$$ (También es aceptable usar $2,58$ dependiendo del criterio del centro).

Queremos que el error sea menor de $1$ euro ($E \lt 1$). La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Planteamos la inecuación: $$2,575 \cdot \frac{25}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$2,575 \cdot 25 \lt \sqrt{n} \implies 64,375 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado para obtener $n$: $$n \gt (64,375)^2 \implies n \gt 4144,14$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero, debemos redondear siempre al siguiente número entero superior para garantizar que el error sea menor al solicitado. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea bajo (ej. $,14$), siempre se redondea hacia arriba para cumplir la restricción del error. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 4145 \text{ personas}}$$