Contraste de hipótesis para la proporción tras campaña publicitaria

**i) ¿Se puede afirmar, tomando $\alpha = 0,01$, que la proporción de hogares que tienen televisión de pago ha aumentado después de la campaña publicitaria?** En primer lugar, identificamos los parámetros del problema: - Proporción inicial (poblacional): $p_0 = 18\% = 0,18$. - Tamaño de la muestra: $n = 121$. - Casos favorables en la muestra: $x = 28$. - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{28}{121} \approx 0,2314$. Queremos contrastar si la proporción ha aumentado, por lo que planteamos un **contraste de hipótesis unilateral a la derecha**: - Hipótesis nula ($H_0$): $p \le 0,18$ (La proporción no ha aumentado). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \gt 0,18$ (La proporción ha aumentado). 💡 **Tip:** La hipótesis alternativa $H_1$ siempre contiene lo que queremos demostrar (en este caso, el aumento). Como buscamos un aumento, el contraste es unilateral derecho.

Para trabajar con la proporción muestral, comprobamos si podemos aproximar la distribución por una Normal. Las condiciones suelen ser $n \cdot p_0 \ge 5$ y $n \cdot (1-p_0) \ge 5$: $$n \cdot p_0 = 121 \cdot 0,18 = 21,78 \ge 5$$ $$n \cdot (1-p_0) = 121 \cdot 0,82 = 99,22 \ge 5$$ Como se cumplen ambas, la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal: $$\hat{p} \sim N\left(p_0, \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica del error (error estándar): $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0,18 \cdot 0,82}{121}} = \sqrt{\frac{0,1476}{121}} \approx 0,0349$$ $$\boxed{\sigma_{\hat{p}} \approx 0,0349}$$

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z_{obs}$ (tipificación), que nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestro resultado muestral del valor teórico $p_0$: $$Z_{obs} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0,2314 - 0,18}{0,0349} = \frac{0,0514}{0,0349} \approx 1,473$$ Este valor será nuestra referencia para compararlo con los valores críticos según el nivel de significación $\alpha$ solicitado. $$\boxed{Z_{obs} \approx 1,473}$$

Para $\alpha = 0,01$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \gt z_{\alpha}) = 0,01$. Esto es equivalente a: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,01 = 0,99$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: $$z_{0,01} \approx 2,326$$ **Regla de decisión:** - Si $Z_{obs} \le 2,326$, no hay pruebas suficientes para rechazar $H_0$. - Si $Z_{obs} \gt 2,326$, rechazamos $H_0$ y aceptamos $H_1$. Comparación: $1,473 \lt 2,326$. Por lo tanto, **no se rechaza la hipótesis nula**. No hay evidencia significativa de que la proporción haya aumentado con un nivel de confianza del 99%. ✅ **Resultado i):** $$\boxed{\text{No se puede afirmar que haya aumentado para } \alpha = 0,01}$$

**ii) Responder al apartado anterior si $\alpha = 0,1$** Repetimos el proceso para $\alpha = 0,1$. Buscamos el valor crítico $z_{0,1}$ tal que: $$P(Z \le z_{0,1}) = 1 - 0,1 = 0,90$$ Buscando en la tabla de la Normal: $$z_{0,1} \approx 1,282$$ **Regla de decisión:** - Si $Z_{obs} \le 1,282$, no se rechaza $H_0$. - Si $Z_{obs} \gt 1,282$, se rechaza $H_0$. Comparación: $1,473 \gt 1,282$. Como el valor observado cae en la zona de rechazo, **rechazamos $H_0$** y aceptamos que la proporción ha aumentado con un nivel de significación del 0,1. 💡 **Tip:** Al aumentar $\alpha$ (permitir más error), es más fácil rechazar la hipótesis nula porque la zona de aceptación se estrecha. ✅ **Resultado ii):** $$\boxed{\text{Sí se puede afirmar que haya aumentado para } \alpha = 0,1}$$