Distribución Normal: Pesos de piñas tropicales

En primer lugar, definimos la variable aleatoria que describe el experimento: $X$ = "Peso de una piña tropical en kg" El enunciado nos indica que esta variable sigue una distribución normal de media $\mu = 1,4$ y desviación típica $\sigma = 0,6$. Por tanto: $$X \sim N(1,4; \, 0,6)$$ Además, disponemos del dato del peso total de la cosecha: $$\text{Cosecha total} = 325000 \text{ kg}$$ Para realizar cálculos con la tabla de la normal estándar, necesitaremos realizar la **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1,4}{0,6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite transformar cualquier variable normal $X$ en una $Z \sim N(0, 1)$ para la cual tenemos tablas de probabilidades.

**i) La cantidad de piña tropical que pesa más de 1,6 kg.** Primero calculamos la probabilidad de que una piña elegida al azar pese más de $1,6$ kg: $$P(X \gt 1,6)$$ Tipificamos el valor: $$P\left(Z \gt \frac{1,6 - 1,4}{0,6}\right) = P\left(Z \gt \frac{0,2}{0,6}\right) = P(Z \gt 0,33)$$ Como la tabla de la normal estándar nos da valores para $P(Z \le z)$, usamos el suceso contrario: $$P(Z \gt 0,33) = 1 - P(Z \le 0,33)$$ Buscando en la tabla el valor para $0,33$: $$P(Z \le 0,33) \approx 0,6293$$ $$P(X \gt 1,6) = 1 - 0,6293 = 0,3707$$ Para hallar la **cantidad de kg**, multiplicamos la probabilidad por la cosecha total: $$\text{Cantidad} = 0,3707 \cdot 325000 = 120477,5 \text{ kg}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{120477,5 \text{ kg}}$$

**ii) La probabilidad de que una piña tropical recogida en la finca pese entre 1,3 y 1,5 kg.** Buscamos la probabilidad $P(1,3 \lt X \lt 1,5)$. Tipificamos ambos límites del intervalo: $$P\left(\frac{1,3 - 1,4}{0,6} \lt Z \lt \frac{1,5 - 1,4}{0,6}\right) = P\left(\frac{-0,1}{0,6} \lt Z \lt \frac{0,1}{0,6}\right) \approx P(-0,17 \lt Z \lt 0,17)$$ Para calcular la probabilidad de un intervalo, restamos las probabilidades acumuladas: $$P(-0,17 \lt Z \lt 0,17) = P(Z \lt 0,17) - P(Z \lt -0,17)$$ Usando la simetría de la normal, sabemos que $P(Z \lt -0,17) = 1 - P(Z \lt 0,17)$: $$P(Z \lt 0,17) - (1 - P(Z \lt 0,17)) = 2 \cdot P(Z \lt 0,17) - 1$$ Buscamos $0,17$ en la tabla: $$P(Z \lt 0,17) \approx 0,5675$$ $$2 \cdot 0,5675 - 1 = 1,135 - 1 = 0,135$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, la probabilidad de que la variable esté en un intervalo centrado en la media es $2 \cdot P(Z \lt z_{pos}) - 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(1,3 \lt X \lt 1,5) = 0,135}$$

**iii) La cantidad de kg de la cosecha de piñas tropicales difiere 0,5 del peso medio.** La expresión "difiere $0,5$ del peso medio" se interpreta como que la distancia entre el peso $X$ y la media $\mu=1,4$ es superior a $0,5$ kg, es decir, $|X - 1,4| \gt 0,5$. Esto ocurre cuando la piña pesa menos de $0,9$ kg ($1,4 - 0,5$) o más de $1,9$ kg ($1,4 + 0,5$): $$P(|X - 1,4| \gt 0,5) = P(X \lt 0,9) + P(X \gt 1,9)$$ Tipificamos los valores: $$P\left(Z \lt \frac{0,9 - 1,4}{0,6}\right) + P\left(Z \gt \frac{1,9 - 1,4}{0,6}\right) = P(Z \lt -0,83) + P(Z \gt 0,83)$$ Por simetría, estas dos colas son iguales: $$2 \cdot P(Z \gt 0,83) = 2 \cdot (1 - P(Z \le 0,83))$$ Buscamos $0,83$ en la tabla: $$P(Z \le 0,83) \approx 0,7967$$ $$2 \cdot (1 - 0,7967) = 2 \cdot 0,2033 = 0,4066$$ Finalmente, calculamos la cantidad de kg sobre el total de la cosecha: $$\text{Cantidad} = 0,4066 \cdot 325000 = 132145 \text{ kg}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{132145 \text{ kg}}$$