Estudio de las ganancias de una empresa

**i) ¿Cuándo es creciente la ganancia?** Antes de estudiar la monotonía, analizamos la continuidad en el punto de salto $t=4$ para asegurar que la función no tiene saltos bruscos que afecten al crecimiento global. 1. **Valor de la función:** $g(4) = \frac{2(4)-2}{4+1} = \frac{6}{5} = 1,2$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{t \to 4^-} g(t) = \lim_{t \to 4} \frac{2t-2}{t+1} = \frac{6}{5} = 1,2$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{t \to 4^+} g(t) = \lim_{t \to 4} \frac{t+2}{t+1} = \frac{6}{5} = 1,2$. Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, la función es **continua en $t=4$**. 💡 **Tip:** Aunque el ejercicio no lo pida explícitamente, comprobar la continuidad es fundamental en funciones a trozos antes de derivar.

Para saber cuándo la función es creciente, calculamos su derivada $g'(t)$ en cada rama y estudiamos su signo. **Rama 1 ($0 < t < 4$):** $$g'(t) = \frac{2(t+1) - 1(2t-2)}{(t+1)^2} = \frac{2t + 2 - 2t + 2}{(t+1)^2} = \frac{4}{(t+1)^2}$$ Como $4 > 0$ y $(t+1)^2 > 0$ para todo $t$ en el intervalo, entonces $g'(t) > 0$. La función es **creciente** en $(0, 4)$. **Rama 2 ($4 < t < 10$):** $$g'(t) = \frac{1(t+1) - 1(t+2)}{(t+1)^2} = \frac{t + 1 - t - 2}{(t+1)^2} = \frac{-1}{(t+1)^2}$$ Como $-1 < 0$ y $(t+1)^2 > 0$, entonces $g'(t) < 0$. La función es **decreciente** en $(4, 10)$. 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Resumimos el comportamiento de la función en la siguiente tabla de signos de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,4) & 4 & (4,10)\\ \hline g'(t) & + & \nexists & -\\ \hline g(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ La ganancia aumenta durante los primeros 4 años. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La ganancia es creciente en el intervalo } [0, 4]}$$

**ii) ¿Cuándo es máxima la ganancia?. Justificar la respuesta** Para hallar el máximo absoluto en un intervalo cerrado $[0, 10]$, comparamos los valores de la función en los extremos del intervalo y en los puntos donde la derivada es cero o no existe (puntos críticos). - No hay puntos donde $g'(t) = 0$ dentro de las ramas. - El punto de cambio de rama es $t=4$. Calculamos los valores: 1. **Inicio ($t=0$):** $g(0) = \frac{2(0)-2}{0+1} = -2$ (pérdidas de 20.000 €). 2. **Cambio de tendencia ($t=4$):** $g(4) = 1,2$ (ganancias de 12.000 €). 3. **Final ($t=10$):** $g(10) = \frac{10+2}{10+1} = \frac{12}{11} \approx 1,09$ (ganancias de 10.909 €). Justificación: Dado que la función es creciente hasta $t=4$ y decreciente a partir de ahí, el valor máximo se alcanza necesariamente en $t=4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La ganancia es máxima a los 4 años, con un valor de 1,2 decenas de miles de euros (12.000 €)}}$$

**iii) Si en la función anterior se cambia $4 < t \le 10$ por $4 < t$ ¿a que valor se aproxima la ganancia cuando $t$ crece?. Justificar la respuesta.** Se nos pide calcular el límite de la función cuando $t \to +\infty$. Para valores de $t > 4$, la función viene definida por la segunda rama: $$\lim_{t \to +\infty} g(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{t+2}{t+1}$$ Como es un límite de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{t+2}{t+1} = \frac{1}{1} = 1$$ Justificación: A medida que el tiempo transcurre indefinidamente, los términos constantes (+2 y +1) se vuelven insignificantes frente al valor de $t$, por lo que la función tiende a estabilizarse en el valor 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La ganancia se aproxima a 1 (10.000 €) cuando } t \text{ crece indefinidamente}}$$