Optimización de beneficios en ventas (Programación lineal)

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar qué es lo que queremos calcular (las incógnitas) y qué queremos maximizar (la función objetivo). Sean las variables: - $x$: número de unidades a vender del producto **A**. - $y$: número de unidades a vender del producto **B**. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por cada unidad de A es de $3$ € y por cada unidad de B es de $4,5$ €. Por tanto, la **función objetivo** es: $$f(x, y) = 3x + 4,5y$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de optimización, la función objetivo siempre representa la magnitud que queremos hacer máxima o mínima (dinero, tiempo, área, etc.).

Ahora debemos traducir las limitaciones del enunciado a inecuaciones matemáticas: 1. **Capacidad de venta máxima:** El total de unidades no puede superar las 120. $$x + y \le 120$$ 2. **Disponibilidad del producto A:** Solo hay 85 unidades. $$x \le 85$$ 3. **Disponibilidad del producto B:** Solo hay 75 unidades. $$y \le 75$$ 4. **No negatividad:** No se pueden vender cantidades negativas de productos. $$x \ge 0$$ $$y \ge 0$$ El sistema de restricciones (región factible) es: $$\begin{cases} x + y \le 120 \\ x \le 85 \\ y \le 75 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca las condiciones $x \ge 0$ e $y \ge 0$ en problemas de contexto real, ya que delimitan la solución al primer cuadrante.

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las inecuaciones para encontrar el recinto de soluciones posibles (región factible): - $r_1: x + y = 120$ (Pasa por $(120, 0)$ y $(0, 120)$) - $r_2: x = 85$ (Recta vertical) - $r_3: y = 75$ (Recta horizontal) El área sombreada representa todos los puntos $(x, y)$ que cumplen todas las condiciones a la vez.

Los puntos óptimos se encuentran en los vértices del polígono formado. Vamos a calcular sus coordenadas: - **A** (Origen): $(0, 0)$ - **B** (Intersección de $x=85$ con el eje X): $(85, 0)$ - **C** (Intersección de $x=85$ y $x+y=120$): $$85 + y = 120 \implies y = 35 \implies C(85, 35)$$ - **D** (Intersección de $y=75$ y $x+y=120$): $$x + 75 = 120 \implies x = 45 \implies D(45, 75)$$ - **E** (Intersección de $y=75$ con el eje Y): $(0, 75)$ 💡 **Tip:** Los vértices son los "puntos de corte" de las fronteras de nuestras restricciones. Siempre es buena idea comprobarlos visualmente en la gráfica. $$\text{Vértices: } A(0,0), B(85,0), C(85,35), D(45,75), E(0,75)$$

Evaluamos el beneficio $f(x, y) = 3x + 4,5y$ en cada uno de los vértices para encontrar el valor máximo: - $f(0, 0) = 3(0) + 4,5(0) = 0$ € - $f(85, 0) = 3(85) + 4,5(0) = 255$ € - $f(85, 35) = 3(85) + 4,5(35) = 255 + 157,5 = 412,5$ € - $f(45, 75) = 3(45) + 4,5(75) = 135 + 337,5 = 472,5$ € - $f(0, 75) = 3(0) + 4,5(75) = 337,5$ € El valor máximo obtenido es de **$472,5$ €**, que corresponde al punto $D(45, 75)$. Por tanto, para maximizar el beneficio, el comercio debe vender: - **45 unidades del producto A** - **75 unidades del producto B** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{45 unidades de A y 75 unidades de B}}$$