Distribución Normal y Distribución de la Media Muestral

**i) ¿Cuál es la probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 120 gramos?** Primero, definimos la variable aleatoria que describe el experimento: Sea $X$ la variable que representa el peso de una pera en gramos. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 115$ g - Desviación típica: $\sigma = 25$ g Por tanto, lo escribimos como: $$X \sim N(115, 25)$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, el primer valor es la media y el segundo la desviación típica. Asegúrate siempre de identificar bien estos datos antes de empezar.

Para calcular $P(X \gt 120)$, debemos tipificar la variable para pasar de una normal cualquiera $N(115, 25)$ a la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. Utilizamos la fórmula de tipificación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Para $X = 120$: $$Z = \frac{120 - 115}{25} = \frac{5}{25} = 0,2$$ Ahora calculamos la probabilidad: $$P(X \gt 120) = P(Z \gt 0,2)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen dar la probabilidad acumulada hacia la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 0,2) = 1 - P(Z \le 0,2)$$ Buscamos el valor $0,2$ en la tabla $N(0, 1)$ y obtenemos $0,5793$: $$1 - 0,5793 = 0,4207$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \gt a) = 1 - P(Z \le a)$. Gráficamente, estamos restando al área total (que es 1) la parte que no nos interesa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 120) = 0,4207}$$

**ii) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 64 peras esté entre 112 y 119 gramos?** Cuando trabajamos con el peso medio de una muestra de tamaño $n$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ cambia. Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 64$ - Media de la población: $\mu = 115$ - Desviación típica de la población: $\sigma = 25$ La distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{25}{\sqrt{64}} = \frac{25}{8} = 3,125$$ Por tanto: $$\bar{X} \sim N(115, 3,125)$$ 💡 **Tip:** Es un error común olvidar dividir la desviación típica por la raíz de $n$ cuando el problema pregunta por la 'media de una muestra' en lugar de un 'individuo'.

Queremos calcular $P(112 \le \bar{X} \le 119)$. Procedemos a tipificar ambos valores usando la nueva desviación típica $\sigma_{\bar{X}} = 3,125$: Para $x_1 = 112$: $$Z_1 = \frac{112 - 115}{3,125} = \frac{-3}{3,125} = -0,96$$ Para $x_2 = 119$: $$Z_2 = \frac{119 - 115}{3,125} = \frac{4}{3,125} = 1,28$$ La probabilidad queda: $$P(112 \le \bar{X} \le 119) = P(-0,96 \le Z \le 1,28)$$ $$P(-0,96 \le Z \le 1,28) = P(Z \le 1,28) - P(Z \le -0,96)$$ Para el valor negativo, usamos la simetría de la normal: $P(Z \le -0,96) = 1 - P(Z \le 0,96)$. Buscamos en la tabla: - $P(Z \le 1,28) = 0,8997$ - $P(Z \le 0,96) = 0,8315$ Sustituimos: $$0,8997 - (1 - 0,8315) = 0,8997 - 0,1685 = 0,7312$$ 💡 **Tip:** Para probabilidades en intervalos $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a)$. No olvides el paréntesis al operar con valores negativos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(112 \le \bar{X} \le 119) = 0,7312}$$