Inferencia: Contraste de hipótesis para la proporción

**i) ¿Se puede afirmar, con un nivel de confianza del 90%, que el alcalde gana popularidad?** Primero, extraemos la información relevante del enunciado para realizar un contraste de hipótesis sobre la proporción poblacional: - Proporción poblacional inicial (hace un año): $p_0 = 52\% = 0,52$. - Tamaño de la muestra: $n = 350$. - Individuos a favor en la muestra: $x = 198$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$ (por tanto, el nivel de significación es $\alpha = 0,10$). 💡 **Tip:** En problemas de inferencia, siempre es vital identificar si estamos trabajando con medias o con proporciones. Aquí hablamos de un porcentaje de votantes, lo que indica una proporción.

Calculamos la proporción de ciudadanos a favor en la encuesta actual ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{198}{350} \approx 0,5657$$ Observamos que $0,5657 > 0,52$, lo que sugiere un aumento, pero debemos comprobar si este incremento es estadísticamente significativo o fruto del azar.

Queremos saber si el alcalde **gana popularidad**, lo que implica que la proporción actual $p$ es mayor que la anterior. Planteamos un contraste de hipótesis unilateral: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \le 0,52$ (La popularidad no ha aumentado). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p > 0,52$ (La popularidad ha aumentado). Como la muestra es grande ($n=350$), podemos usar la aproximación a la normal para la proporción muestral.

Utilizamos la fórmula del estadístico $Z$ para proporciones: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Donde $q_0 = 1 - p_0 = 1 - 0,52 = 0,48$. Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0,5657 - 0,52}{\sqrt{\frac{0,52 \cdot 0,48}{350}}} = \frac{0,0457}{\sqrt{\frac{0,2496}{350}}} = \frac{0,0457}{\sqrt{0,00071314}}$$ $$Z = \frac{0,0457}{0,0267} \approx 1,71$$ 💡 **Tip:** El denominador representa la desviación típica de la distribución de proporciones muestrales.

Para un nivel de confianza del $90\%$ ($1 - \alpha = 0,90$) en un contraste unilateral a la derecha, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 0,90$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$: $$z_{0,10} = 1,28$$ Comparamos el estadístico experimental con el crítico: - Si $Z_{exp} > z_{\alpha}$, rechazamos $H_0$. - Como $1,71 > 1,28$, **rechazamos la hipótesis nula**. ✅ **Resultado i):** $$\boxed{\text{Sí, con un 90% de confianza se puede afirmar que el alcalde ha ganado popularidad.}}$$

**ii) ¿Se obtiene la misma respuesta que en el apartado anterior si el nivel de confianza es igual a 0.99?** Repetimos el proceso para $1 - \alpha = 0,99$. Esto significa que el nivel de significación es $\alpha = 0,01$. Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 0,99$. Según las tablas: $$z_{0,01} = 2,33$$ Comparamos nuestro estadístico $Z \approx 1,71$ con el nuevo valor crítico: Como $1,71 < 2,33$, el valor se encuentra en la zona de aceptación. **No podemos rechazar $H_0$.** 💡 **Tip:** Al aumentar el nivel de confianza, somos más exigentes para aceptar un cambio. Lo que valía con un 10% de error permitido, no vale con solo un 1%. ✅ **Resultado ii):** $$\boxed{\text{No se obtiene la misma respuesta. Con un 99% de confianza no hay evidencia suficiente para afirmar que gane popularidad.}}$$