Área de un solar urbano entre curvas y valor económico

**i) Hacer un dibujo del solar.** Para poder dibujar el solar y conocer los límites de integración del área, primero debemos encontrar los puntos donde se cortan la parábola $f(x) = x^2 - 2$ y la recta $g(x) = 2x + 1$. Igualamos ambas expresiones: $$x^2 - 2 = 2x + 1$$ Llevamos todos los términos a un lado para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Resolvemos usando la fórmula general: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos valores de $x$: - $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en cualquiera de las funciones (por ejemplo en $g(x)$): - Si $x = -1 \implies g(-1) = 2(-1) + 1 = -1$. Punto: **$(-1, -1)$** - Si $x = 3 \implies g(3) = 2(3) + 1 = 7$. Punto: **$(3, 7)$** 💡 **Tip:** Los puntos de corte son fundamentales porque nos indican dónde empieza y termina la región que queremos calcular.

**ii) Hallar el área del solar si la unidad de medida usada en el mapa es el decámetro.** El área comprendida entre dos funciones se calcula mediante la integral definida de la función "techo" (la que está por arriba) menos la función "suelo" (la que está por debajo) entre los puntos de corte hallados. En el intervalo $(-1, 3)$, la recta $g(x) = 2x + 1$ está por encima de la parábola $f(x) = x^2 - 2$. Por tanto: $$A = \int_{-1}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx$$ $$A = \int_{-1}^{3} [2x + 1 - (x^2 - 2)] \, dx$$ $$A = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si no estás seguro de qué función va arriba, puedes tomar un valor intermedio, como $x=0$. Aquí $g(0)=1$ y $f(0)=-2$. Como $1 \gt -2$, la recta es la función superior.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-x^2 + 2x + 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $3$ y $-1$: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=3$): $$F(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) = -9 + 9 + 9 = 9$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) = -\frac{-1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$$ Restamos ambos resultados: $$A = F(3) - F(-1) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$$ Como la unidad es el decámetro ($dam$), el área está en decámetros cuadrados ($dam^2$): $$\boxed{A = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ dam}^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un área siempre debe ser un valor positivo. Si te sale negativo, revisa si has colocado correctamente la función superior e inferior.

**iii) Si el valor del metro cuadrado es de 30 euros, ¿Cuánto vale el solar?** Primero, debemos pasar el área de decámetros cuadrados ($dam^2$) a metros cuadrados ($m^2$). Sabemos que: $1 \text{ dam} = 10 \text{ m} \implies 1 \text{ dam}^2 = (10 \text{ m})^2 = 100 \text{ m}^2$ Multiplicamos el área obtenida por $100$: $$A_{m^2} = \frac{32}{3} \cdot 100 = \frac{3200}{3} \text{ m}^2 \approx 1066.67 \text{ m}^2$$ Ahora calculamos el valor total multiplicando los metros cuadrados por el precio unitario ($30$ €/$m^2$): $$\text{Valor} = \frac{3200}{3} \cdot 30$$ Simplificamos la operación: $$\text{Valor} = 3200 \cdot \frac{30}{3} = 3200 \cdot 10 = 32000$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El solar vale 32.000 euros}}$$