Estudio de beneficios y pérdidas de una empresa

**i) Determinar el año en que la empresa deja de tener pérdidas.** La función $f(t)$ representa las ganancias (si es positiva) o pérdidas (si es negativa). La empresa deja de tener pérdidas en el momento en que el beneficio es igual a cero ($f(t) = 0$). Planteamos la ecuación: $$\frac{2t - 4}{t + 2} = 0$$ Para que una fracción sea cero, el numerador debe ser cero (siempre que el denominador no se anule para ese valor): $$2t - 4 = 0 \implies 2t = 4 \implies t = 2$$ Como $t$ representa el tiempo en años, la empresa deja de tener pérdidas a los **2 años**. 💡 **Tip:** En problemas de economía, el punto donde los beneficios son cero se llama punto de equilibrio o "break-even point". ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 2 \text{ años}}$$

**ii) ¿Es creciente la ganancia?. ¿En qué año la ganancia supera los 100.000 euros?.** Para saber si la ganancia es creciente, calculamos la derivada de la función $f(t)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(t) = \frac{(2t-4)' \cdot (t+2) - (2t-4) \cdot (t+2)'}{(t+2)^2}$$ $$f'(t) = \frac{2(t+2) - 1(2t-4)}{(t+2)^2} = \frac{2t + 4 - 2t + 4}{(t+2)^2} = \frac{8}{(t+2)^2}$$ Analizamos el signo de $f'(t)$ para $t \ge 0$: - El numerador ($8$) es siempre positivo. - El denominador $(t+2)^2$ es siempre positivo para cualquier valor de $t$ en el dominio ($t \ge 0$). Por tanto, $f'(t) \gt 0$ para todo $t \ge 0$, lo que significa que la función es **siempre creciente**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|c} t & (0, +\infty) \\ \hline f'(t) & + \\ \hline f(t) & \nearrow (\text{Creciente}) \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la primera derivada de una función es positiva en un intervalo, la función es estrictamente creciente en ese intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, la ganancia es siempre creciente}}$$

El enunciado indica que $f(t)$ está expresada en **centenas de miles de euros**. Por tanto, 100.000 euros equivalen a $1$ unidad de la función ($100.000 / 100.000 = 1$). Buscamos el valor de $t$ para el cual $f(t) \gt 1$: $$\frac{2t - 4}{t + 2} \gt 1$$ Como $t \ge 0$, el denominador $t+2$ siempre es positivo, así que podemos multiplicar ambos lados de la inecuación por $(t+2)$ sin cambiar el sentido de la desigualdad: $$2t - 4 \gt t + 2$$ $$2t - t \gt 2 + 4$$ $$t \gt 6$$ La ganancia supera los 100.000 euros a partir del sexto año, es decir, **durante el séptimo año**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \gt 6 \text{ años}}$$

**iii) ¿Existe límite para la ganancia?. En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?.** Para hallar el límite de la ganancia cuando el tiempo transcurre indefinidamente, calculamos el límite de la función cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{2t - 4}{t + 2}$$ Estamos ante una indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Al ser un cociente de polinomios del mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{2t - 4}{t + 2} = \frac{2}{1} = 2$$ El límite es de 2 unidades de centenas de miles de euros, lo que equivale a **200.000 euros**. 💡 **Tip:** Este límite representa una asíntota horizontal en $y = 2$. Significa que, por muchos años que pasen, la empresa nunca superará los 200.000 euros de beneficio, aunque se acercará cada vez más a esa cifra. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe límite y es de 200.000 €}}$$