Problema de precios mediante sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver este problema, lo primero es identificar qué es lo que queremos calcular y asignarle una variable a cada incógnita. Llamaremos: - $x$: precio de un pantalón (en euros). - $y$: precio de una blusa (en euros). - $z$: precio de un sombrero (en euros). 💡 **Tip:** Definir claramente las variables con sus unidades es el primer paso fundamental para traducir el enunciado al lenguaje algebraico.

A partir de la información proporcionada por las compras de Carla, Nuria y Paula, planteamos las siguientes ecuaciones: 1. **Compra de Carla:** 3 pantalones, 2 blusas y 1 sombrero por 135 €: $$3x + 2y + z = 135$$ 2. **Compra de Nuria:** 1 pantalón, 3 blusas y 1 sombrero por 100 €: $$x + 3y + z = 100$$ 3. **Compra de Paula:** 2 pantalones, 3 blusas y 2 sombreros por 155 €: $$2x + 3y + 2z = 155$$ El sistema de ecuaciones resultante es: $$\begin{cases} 3x + 2y + z = 135 \\ x + 3y + z = 100 \\ 2x + 3y + 2z = 155 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de que cada ecuación represente fielmente la compra de cada persona.

Vamos a utilizar el método de Gauss operando con la matriz ampliada del sistema. Para facilitar los cálculos, intercambiaremos la primera fila por la segunda, ya que la segunda tiene un $1$ en el coeficiente de la $x$. Matriz inicial: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 135 \\ 1 & 3 & 1 & 100 \\ 2 & 3 & 2 & 155 \end{array}\right)$$ Intercambiamos $F_1 \leftrightarrow F_2$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 100 \\ 3 & 2 & 1 & 135 \\ 2 & 3 & 2 & 155 \end{array}\right)$$ Ahora hacemos ceros en la primera columna: - $F_2 \to F_2 - 3F_1$ - $F_3 \to F_3 - 2F_1$ Operaciones detalladas para $F_2$: $3 - 3(1) = 0$ $2 - 3(3) = -7$ $1 - 3(1) = -2$ $135 - 3(100) = -165$ Operaciones detalladas para $F_3$: $2 - 2(1) = 0$ $3 - 2(3) = -3$ $2 - 2(1) = 0$ $155 - 2(100) = -45$ La matriz queda: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 100 \\ 0 & -7 & -2 & -165 \\ 0 & -3 & 0 & -45 \end{array}\right)$$

A partir de la matriz escalonada, podemos obtener los valores de las variables empezando por la última fila, que es la más sencilla: 1. **De la tercera fila ($F_3$):** $$-3y = -45 \implies y = \frac{-45}{-3} = 15$$ Por lo tanto, el precio de una blusa es **$y = 15$ euros**. 2. **De la segunda fila ($F_2$):** $$-7y - 2z = -165$$ Sustituimos $y = 15$: $$-7(15) - 2z = -165 \implies -105 - 2z = -165$$ $$-2z = -165 + 105 \implies -2z = -60 \implies z = 30$$ Por lo tanto, el precio de un sombrero es **$z = 30$ euros**. 3. **De la primera fila ($F_1$):** $$x + 3y + z = 100$$ Sustituimos $y = 15$ y $z = 30$: $$x + 3(15) + 30 = 100 \implies x + 45 + 30 = 100$$ $$x + 75 = 100 \implies x = 25$$ Por lo tanto, el precio de un pantalón es **$x = 25$ euros**. 💡 **Tip:** Al sustituir, ten mucho cuidado con los signos negativos.

Una vez hallados los valores, redactamos la respuesta final indicando el precio de cada prenda de ropa. Comprobamos en las ecuaciones originales: - Carla: $3(25) + 2(15) + 30 = 75 + 30 + 30 = 135$ (Correcto) - Nuria: $25 + 3(15) + 30 = 25 + 45 + 30 = 100$ (Correcto) - Paula: $2(25) + 3(15) + 2(30) = 50 + 45 + 60 = 155$ (Correcto) ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Precio del pantalón: } 25 \text{ euros} \\ \text{Precio de la blusa: } 15 \text{ euros} \\ \text{Precio del sombrero: } 30 \text{ euros} \end{matrix}}$$