Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**i) Hallar el intervalo de confianza de nivel 0.95 para la media de consumo semanal de refrescos de la población de jóvenes.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el consumo semanal de refrescos en litros. El enunciado nos indica que esta variable sigue una distribución normal de media desconocida $\mu$ y desviación típica $\sigma = 0.6$. $$X \sim N(\mu, 0.6)$$ Los datos de la muestra proporcionados son: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 1.5$ litros - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media con $\sigma$ conocida, la media muestral $\bar{x}$ sigue una distribución normal $N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

Para obtener el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $95\%$. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, observamos que para una probabilidad de $0.975$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja un área de $\alpha/2$ en cada extremo de la campana de Gauss.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$ es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{0.6}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{0.6}{10} = 1.96 \cdot 0.06 = 0.1176$$ Ahora aplicamos los límites al intervalo: - Límite inferior: $1.5 - 0.1176 = 1.3824$ - Límite superior: $1.5 + 0.1176 = 1.6176$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (1.3824, 1.6176)}$$

**ii) Si se acepta un error de 0.1 litros y se toma un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el tamaño de la muestra de jóvenes que habría que considerar?** En este apartado cambian las condiciones: - Error máximo: $E = 0.1$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$ Mirando las tablas de la normal, el valor de $0.995$ se encuentra entre $2.57$ y $2.58$. Tomaremos el valor medio habitual o el más preciso: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ (Nota: Si utilizas $2.58$ el resultado variará ligeramente, pero ambos suelen aceptarse si se justifica).

Utilizamos la fórmula del error despejando el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n = \left( \frac{2.575 \cdot 0.6}{0.1} \right)^2 = (2.575 \cdot 6)^2 = (15.45)^2 = 238.7025$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar que el error sea **como máximo** de $0.1$, siempre debemos redondear al entero superior. $n \approx 238.7 \implies n = 239$ 💡 **Tip:** Siempre que calcules el tamaño de la muestra $n$, si el resultado tiene decimales, redondea al siguiente número entero hacia arriba para asegurar el nivel de confianza y el margen de error. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 239 \text{ jóvenes}}$$