Inferencia estadística: Contraste de hipótesis para la media

Primero, extraemos la información del enunciado y definimos la variable aleatoria: Sea $X$ la variable que representa la edad de los aspirantes. Sabemos que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma = 5)$$ Los datos de la muestra son: - Tamaño de la muestra: $n = 125$ - Media muestral: $\bar{x} = 22.3$ 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media, si conocemos la desviación típica de la población ($\sigma$), utilizaremos la distribución normal para realizar los contrastes de hipótesis o calcular intervalos de confianza.

**i) ¿Se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que es igual a 21 la edad media de los que optan a un puesto de trabajo en el organismo oficial?** Se trata de un contraste de hipótesis para la media poblacional $\mu$. Queremos comprobar si $\mu = 21$. Establecemos las hipótesis: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu = 21$ - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \neq 21$ Como la hipótesis alternativa usa el signo $\neq$, es un **contraste bilateral** (de dos colas). El nivel de significación es $\alpha = 0.05$.

Para un contraste bilateral con $\alpha = 0.05$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $\text{p}(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$. $$1 - \frac{0.05}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$, encontramos que: $$\text{p}(Z \le 1.96) = 0.975 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$$ Calculamos el estadístico de contraste $Z$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta ($\mu_0 = 21$): $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{22.3 - 21}{5 / \sqrt{125}}$$ Realizamos los cálculos intermedios: $$Z = \frac{1.3}{5 / 11.18} = \frac{1.3}{0.4472} \approx 2.907$$ 💡 **Tip:** El estadístico de contraste nos dice a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media teórica propuesta en $H_0$.

Comparamos el valor del estadístico $|Z|$ con el valor crítico $z_{\alpha/2}$: Como $|2.907| \gt 1.96$, el estadístico cae en la **región de rechazo**. Esto significa que la diferencia entre la media observada (22.3) y la media hipotética (21) es demasiado grande para ser explicada por el azar con un nivel de significación del 5%. Por tanto, rechazamos $H_0$. No se puede afirmar que la edad media sea igual a 21. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede afirmar que la edad media sea 21 con } \alpha = 5\%}$$

**ii) ¿Se puede afirmar, si el nivel de significación es del 1%, que dicha edad media es menor o igual que 22?** Planteamos las nuevas hipótesis: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu \le 22$ - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \gt 22$ Este es un **contraste unilateral derecho** (una sola cola), ya que queremos ver si hay pruebas suficientes para decir que la media es mayor que 22. Si no las hay, no podremos rechazar que sea menor o igual. Nivel de significación: $\alpha = 0.01$.

Para un contraste unilateral con $\alpha = 0.01$, buscamos el valor crítico $z_\alpha$ tal que $\text{p}(Z \le z_\alpha) = 1 - \alpha = 0.99$. Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$: $$\text{p}(Z \le 2.33) \approx 0.9901 \implies z_\alpha = 2.33$$ Calculamos el nuevo estadístico de contraste con $\mu_0 = 22$: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{22.3 - 22}{5 / \sqrt{125}} = \frac{0.3}{0.4472} \approx 0.671$$ 💡 **Tip:** En contrastes unilaterales, toda la zona de rechazo se concentra en un solo lado de la campana de Gauss.

Comparamos el estadístico con el valor crítico: Como $0.671 \lt 2.33$, el estadístico cae en la **región de aceptación** de $H_0$. No hay evidencias estadísticas suficientes para rechazar que la edad media sea menor o igual que 22 con un nivel de significación del 1%. Por tanto, se puede afirmar (en el sentido de que los datos son compatibles con la hipótesis) que la edad media es menor o igual que 22. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí se puede afirmar que la edad media es } \le 22 \text{ con } \alpha = 1\%}$$