Distribución Binomial y aproximación a la Normal

**i) Número esperado de microcircuitos no defectuosos.** En primer lugar, definimos las variables del problema. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de microcircuitos defectuosos en una muestra de $n = 300$. Cada microcircuito tiene dos posibilidades: ser defectuoso o no. La probabilidad de ser defectuoso es $p = 0.10$ ($10\%$). Por tanto, estamos ante una **Distribución Binomial**: $$X \sim B(n, p) = B(300, 0.10)$$ Nos piden el número esperado de microcircuitos **no defectuosos**. Definimos $q$ como la probabilidad de que un circuito sea correcto: $$q = 1 - p = 1 - 0.10 = 0.90$$ El número esperado (la media) en una distribución binomial viene dado por la fórmula $E[X] = n \cdot p$. En este caso, para los no defectuosos: $$E[\text{no defectuosos}] = n \cdot q = 300 \cdot 0.90 = 270$$ 💡 **Tip:** El valor esperado o esperanza matemática en una binomial es simplemente el producto del número de ensayos por la probabilidad de éxito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{270 \text{ microcircuitos no defectuosos}}$$

Para los siguientes apartados, trabajar con una Binomial de $n=300$ es computacionalmente difícil. Comprobamos si podemos aproximar por una **Distribución Normal**: 1. $n \cdot p = 300 \cdot 0.10 = 30 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 300 \cdot 0.90 = 270 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, aproximamos $X \sim B(n, p)$ por una normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$ donde: - $\mu = n \cdot p = 300 \cdot 0.10 = 30$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{300 \cdot 0.10 \cdot 0.90} = \sqrt{27} \approx 5.196$ Por tanto, usaremos $X' \sim N(30, 5.196)$. 💡 **Tip:** Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates** ($\pm 0.5$).

**ii) Probabilidad de que se encuentre más de 27 microcircuitos defectuosos.** Buscamos $P(X \gt 27)$. Aplicando la corrección de continuidad, esto equivale a buscar el área a la derecha de $27.5$ en la Normal: $$P(X \gt 27) \approx P(X' \ge 27.5)$$ Ahora tipificamos la variable para usar la tabla $N(0, 1)$ mediante $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left( Z \ge \frac{27.5 - 30}{5.196} \right) = P(Z \ge -0.4811) \approx P(Z \ge -0.48)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge -0.48) = P(Z \le 0.48)$$ Buscando en las tablas de la normal: $$P(Z \le 0.48) = 0.6844$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 27) = 0.6844}$$

**iii) Probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 20 y 30.** Buscamos $P(20 \le X \le 30)$. Aplicamos la corrección de continuidad para incluir ambos extremos: $$P(20 \le X \le 30) \approx P(19.5 \le X' \le 30.5)$$ Tipificamos ambos valores: $$Z_1 = \frac{19.5 - 30}{5.196} = -2.0207 \approx -2.02$$ $$Z_2 = \frac{30.5 - 30}{5.196} = 0.0962 \approx 0.10$$ La probabilidad es: $$P(-2.02 \le Z \le 0.10) = P(Z \le 0.10) - P(Z \le -2.02)$$ Operamos con las propiedades de la Normal: $$P(Z \le 0.10) - [1 - P(Z \le 2.02)]$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 0.10) = 0.5398$ - $P(Z \le 2.02) = 0.9783$ Sustituimos: $$0.5398 - (1 - 0.9783) = 0.5398 - 0.0217 = 0.5181$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(20 \le X \le 30) = 0.5181}$$