Optimización e integración: Afluencia a una exposición

Para resolver el problema, primero definimos el dominio de la función basado en el horario de apertura. El tiempo $t$ representa las horas transcurridas desde la apertura (15:00 horas). Si la exposición cierra a las 21:00 horas, el tiempo total de apertura es: $$21 - 15 = 6 \text{ horas}$$ Por lo tanto, la función $f(t) = 12t - 2t^2$ está definida en el intervalo cerrado $[0, 6]$, donde: - $t=0$ corresponde a las 15:00 horas. - $t=6$ corresponde a las 21:00 horas. 💡 **Tip:** Siempre es útil definir el intervalo de la variable independiente en problemas de contexto real para no buscar soluciones fuera de los límites lógicos.

**i) ¿A qué hora es máximo el número de personas que acuden a la exposición?. ¿Cuál es el número?.** Para encontrar el máximo, calculamos la primera derivada de $f(t) = 12t - 2t^2$ e igualamos a cero: $$f'(t) = 12 - 4t$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$12 - 4t = 0 \implies 4t = 12 \implies t = 3$$ Como $t=3$ está dentro de nuestro intervalo $[0, 6]$, es un candidato a máximo. 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función buscamos los puntos donde la pendiente de la tangente es horizontal, es decir, donde la derivada es nula.

Para confirmar que en $t=3$ hay un máximo, estudiamos el signo de la derivada a su izquierda y derecha dentro del dominio: $$ \begin{array}{c|ccc} t & (0, 3) & 3 & (3, 6) \\ \hline f'(t) = 12 - 4t & + & 0 & - \\ \hline f(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ - Si $t \in (0, 3)$, por ejemplo $t=1$: $f'(1) = 12 - 4(1) = 8 > 0$ (la función crece). - Si $t \in (3, 6)$, por ejemplo $t=4$: $f'(4) = 12 - 4(4) = -4 < 0$ (la función decrece). Al crecer antes de $t=3$ y decrecer después, confirmamos que existe un **máximo relativo** en $t=3$.

Ahora calculamos la hora real y el valor de la función en ese punto: 1. **Hora del máximo:** Como la apertura es a las 15:00 y han pasado $t=3$ horas: $$15 + 3 = 18 \text{ horas}$$ 2. **Número de personas:** Sustituimos $t=3$ en la función original $f(t)$: $$f(3) = 12(3) - 2(3)^2 = 36 - 2(9) = 36 - 18 = 18$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo ocurre a las 18:00 h con 18 personas}}$$

**ii) ¿Cuántas personas visitan la exposición al día?.** En este contexto, la función $f(t)$ representa el ritmo o flujo de personas que entran a la exposición. Para hallar el total de personas que han pasado por la exposición a lo largo de las 6 horas, debemos calcular la **integral definida** de la función en el intervalo $[0, 6]$. $$N = \int_{0}^{6} (12t - 2t^2) \, dt$$ Calculamos la primitiva: $$\int (12t - 2t^2) \, dt = 12\frac{t^2}{2} - 2\frac{t^3}{3} = 6t^2 - \frac{2}{3}t^3$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$N = \left[ 6t^2 - \frac{2}{3}t^3 \right]_{0}^{6}$$ $$N = \left( 6(6)^2 - \frac{2}{3}(6)^3 \right) - \left( 6(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3 \right)$$ $$N = (6 \cdot 36 - \frac{2 \cdot 216}{3}) - 0$$ $$N = 216 - 2 \cdot 72 = 216 - 144 = 72$$ 💡 **Tip:** La integral de una función de ritmo o tasa de variación nos devuelve el cambio total acumulado de la magnitud (en este caso, el total de personas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{72 \text{ personas visitan la exposición al día}}$$