Optimización de la construcción de viviendas

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar las variables de decisión y lo que queremos maximizar. Llamamos: - $x$: número de viviendas tipo A (4 dormitorios). - $y$: número de viviendas tipo B (2 dormitorios). La empresa quiere maximizar los beneficios totales ($B$). Dado que gana 4 millones por cada vivienda tipo A y 3 millones por cada tipo B, la función objetivo es: $$f(x, y) = 4x + 3y$$ 💡 **Tip:** Define siempre las variables con claridad y sus unidades (en este caso, número de viviendas).

A partir del enunciado, traducimos las limitaciones a desigualdades matemáticas: 1. **Inversión máxima:** El coste total no debe superar los 3600 millones. $$40x + 30y \le 3600$$ Dividiendo entre 10 para simplificar: $\boxed{4x + 3y \le 360}$ 2. **Límite total de viviendas:** No se pueden construir más de 100 en total. $$\boxed{x + y \le 100}$$ 3. **Límite de viviendas tipo B:** Como máximo 80 pueden ser de tipo B. $$\boxed{y \le 80}$$ 4. **No negatividad:** No se pueden construir un número negativo de casas. $$\boxed{x \ge 0, y \ge 0}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones (como la del coste) facilita mucho los cálculos posteriores de los vértices.

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región de soluciones posibles: - **Recta 1 ($r_1$):** $4x + 3y = 360$. Si $x=0 \Rightarrow y=120$; si $y=0 \Rightarrow x=90$. Pasa por $(0, 120)$ y $(90, 0)$. - **Recta 2 ($r_2$):** $x + y = 100$. Si $x=0 \Rightarrow y=100$; si $y=0 \Rightarrow x=100$. Pasa por $(0, 100)$ y $(100, 0)$. - **Recta 3 ($r_3$):** $y = 80$. Es una recta horizontal que corta al eje $Y$ en 80. La región factible es el polígono formado por la intersección de estos semiplanos en el primer cuadrante.

Los vértices son los puntos de corte de las rectas que delimitan la región: - **A (Origen):** $(0, 0)$ - **B:** Corte de $x=0$ con $y=80 \Rightarrow B(0, 80)$ - **C:** Corte de $y=80$ con $x+y=100 \Rightarrow x+80=100 \Rightarrow C(20, 80)$ - **D:** Corte de $x+y=100$ con $4x+3y=360$: $$\begin{cases} x+y=100 \Rightarrow y = 100-x \\ 4x+3y=360 \end{cases}$$ Sustituimos: $4x + 3(100-x) = 360 \Rightarrow 4x + 300 - 3x = 360 \Rightarrow x = 60$. Si $x=60, y=100-60=40$. Luego $D(60, 40)$. - **E:** Corte de $4x+3y=360$ con el eje $X$ ($y=0$): $4x + 0 = 360 \Rightarrow x = 90$. Luego $E(90, 0)$. 💡 **Tip:** Comprueba siempre que los vértices hallados cumplen todas las demás restricciones para asegurar que pertenecen a la región factible.

Evaluamos $f(x, y) = 4x + 3y$ en cada vértice para encontrar el máximo: - $f(0, 0) = 4(0) + 3(0) = 0$ millones. - $f(0, 80) = 4(0) + 3(80) = 240$ millones. - $f(20, 80) = 4(20) + 3(80) = 80 + 240 = 320$ millones. - $f(60, 40) = 4(60) + 3(40) = 240 + 120 = 360$ millones. - $f(90, 0) = 4(90) + 3(0) = 360$ millones. Observamos que el beneficio máximo es de **360 millones** y se alcanza en los puntos $D(60, 40)$ y $E(90, 0)$. Esto sucede porque la función objetivo $f(x, y) = 4x + 3y$ tiene la misma pendiente que la restricción de inversión $4x+3y=360$. Por tanto, **cualquier punto del segmento que une D y E** (con coordenadas enteras) es una solución óptima. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existen múltiples soluciones: pueden construirse 60 de tipo A y 40 de tipo B, o bien 90 de tipo A y 0 de tipo B.}}$$ *(Incluso cualquier combinación entera sobre el segmento $4x+3y=360$ entre $x=60$ y $x=90$ como por ejemplo 75 de tipo A y 20 de tipo B)*