Intervalo de confianza para la proporción y tamaño muestral

**a) Hallar, con un nivel de confianza del 94%, un intervalo para estimar la proporción de los ciudadanos que van al teatro regularmente.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 325$ - Número de personas que van al teatro: $x = 120$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{120}{325} \approx 0.3692$$ Calculamos la proporción complementaria $\hat{q}$ (los que no van al teatro): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.3692 = 0.6308$$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, trabajamos con la distribución muestral de proporciones, que se aproxima a una normal $N\left(p, \sqrt{\frac{pq}{n}}\right)$ si el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

Para un nivel de confianza del $94\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.94$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.94 = 0.06$ 3. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.03$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97$$ Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, buscamos el valor más cercano a $0.97$. Vemos que para $z = 1.88$ la probabilidad es $0.9699$ y para $z = 1.89$ es $0.9706$. Tomamos el valor más aproximado: $$z_{\alpha/2} = 1.88$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una interpolación. En este caso, $1.88$ es una excelente aproximación.

La fórmula para el intervalo de confianza de la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.3692 \cdot 0.6308}{325}}$$ $$E = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.23289}{325}} = 1.88 \cdot \sqrt{0.0007166} \approx 1.88 \cdot 0.02677 \approx 0.0503$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0.3692 - 0.0503 = 0.3189$ - Extremo superior: $0.3692 + 0.0503 = 0.4195$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (0.3189, \, 0.4195)}$$

**b) En las mismas condiciones del apartado anterior, se realiza la experiencia para conseguir una cota de error del 0.01. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra?** Las "mismas condiciones" implican: - Nivel de confianza: $94\%$ (lo que significa $z_{\alpha/2} = 1.88$) - Proporción estimada: $\hat{p} = 0.3692$ y $\hat{q} = 0.6308$ El enunciado nos pide que el error $E$ sea como máximo $0.01$. Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$$ Para hallar $n$, despejamos de la fórmula: $$E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p}\hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ 💡 **Tip:** Si no nos dieran $\hat{p}$, usaríamos el caso más desfavorable ($p=0.5, q=0.5$), pero aquí usamos los valores obtenidos en el apartado (a).

Sustituimos los valores en la fórmula despejada: $$n = \frac{(1.88)^2 \cdot 0.3692 \cdot 0.6308}{(0.01)^2}$$ $$n = \frac{3.5344 \cdot 0.23289}{0.0001}$$ $$n = \frac{0.823126}{0.0001} = 8231.26$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y queremos asegurar que el error sea **como máximo** $0.01$, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 8232 \text{ personas}}$$