Distribución Normal de los pesos del modelo Mathe

Para resolver este problema, lo primero es definir la variable aleatoria que estamos estudiando. Sea $X$ la variable que representa el peso en kilos de un coche del modelo "Mathe". Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(3100, 130)$$ Donde: - Media $\mu = 3100$ kg - Desviación típica $\sigma = 130$ kg Para realizar cálculos, necesitaremos tipificar la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distribución normal estándar $Z$ nos permite buscar las probabilidades en las tablas estadísticas que suelen facilitarse en los exámenes.

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al comprar un coche Mathe, pese más de 3.130 kilos?** Buscamos calcular $P(X \gt 3130)$. **1. Tipificamos el valor:** $$Z = \frac{3130 - 3100}{130} = \frac{30}{130} \approx 0.23$$ **2. Planteamos la probabilidad en términos de $Z$:** $$P(X \gt 3130) = P(Z \gt 0.23)$$ **3. Adaptamos para usar la tabla:** Como la tabla de la normal estándar nos da el área a la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos el suceso complementario: $$P(Z \gt 0.23) = 1 - P(Z \le 0.23)$$ **4. Buscamos en la tabla:** Para $z = 0.23$, el valor de probabilidad es $0.5910$. $$P(Z \gt 0.23) = 1 - 0.5910 = 0.4090$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan la probabilidad de "mayor que", recuerda restarle a 1 la probabilidad del "menor o igual". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 3130) = 0.4090}$$

**b) ¿Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de coches Mathe?** Cuando trabajamos con muestras de tamaño $n$, la distribución de las **medias muestrales** $\bar{X}$ sigue también una distribución normal si la población original es normal. Los parámetros de la distribución de la media muestral son: - La media es la misma que la de la población: $\mu_{\bar{x}} = \mu = 3100$. - La desviación típica (llamada error estándar) es la de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Dado que $n = 100$: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{130}{\sqrt{100}} = \frac{130}{10} = 13$$ 💡 **Tip:** Este es el Teorema Central del Límite. La distribución de la media muestral siempre es más "estrecha" que la original porque las medias de muchos elementos tienden a variar menos que los individuos aislados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{X} \sim N(3100, 13)}$$

**c) ¿Cuál será la probabilidad de que al comprar un coche pese más de 2.900 kilos y menos de 3.500?** Buscamos calcular $P(2900 \lt X \lt 3500)$. **1. Tipificamos ambos valores:** Para $x_1 = 2900$: $$Z_1 = \frac{2900 - 3100}{130} = \frac{-200}{130} \approx -1.54$$ Para $x_2 = 3500$: $$Z_2 = \frac{3500 - 3100}{130} = \frac{400}{130} \approx 3.08$$ **2. Planteamos el intervalo en $Z$:** $$P(-1.54 \lt Z \lt 3.08) = P(Z \lt 3.08) - P(Z \lt -1.54)$$ **3. Tratamos el valor negativo:** Sabemos que $P(Z \lt -1.54) = P(Z \gt 1.54) = 1 - P(Z \le 1.54)$. Sustituyendo: $$P(-1.54 \lt Z \lt 3.08) = P(Z \le 3.08) - [1 - P(Z \le 1.54)]$$ **4. Buscamos en la tabla:** - Para $3.08$: $0.9990$ - Para $1.54$: $0.9382$ Calculamos: $$P = 0.9990 - (1 - 0.9382) = 0.9990 - 0.0618 = 0.9372$$ 💡 **Tip:** En una probabilidad de intervalo $P(a < X < b)$, el resultado siempre es $P(Z < z_{superior}) - P(Z < z_{inferior})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(2900 \lt X \lt 3500) = 0.9372}$$