Optimización de beneficios de una empresa

**a) Expresar, en función de las unidades de fabricación, el beneficio que obtiene la empresa con dicho artículo. Representar gráficamente dicho beneficio.** Primero definimos la función de ingresos $I(x)$. Como cada unidad se vende a 520 €, los ingresos por vender $x$ unidades son: $$I(x) = 520x$$ El beneficio $B(x)$ se define como la diferencia entre los ingresos y los costes: $$B(x) = I(x) - C(x)$$ Sustituimos las expresiones de $I(x)$ y $C(x)$: $$B(x) = 520x - (x^2 + 20x + 40000)$$ $$B(x) = 520x - x^2 - 20x - 40000$$ $$B(x) = -x^2 + 500x - 40000$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al restar el coste, el signo menos afecta a **todos** los términos de la función $C(x)$ dentro del paréntesis. ✅ **Resultado (Función de beneficio):** $$\boxed{B(x) = -x^2 + 500x - 40000}$$

La función $B(x) = -x^2 + 500x - 40000$ es una función cuadrática cuya gráfica es una **parábola** con las ramas hacia abajo (ya que el coeficiente de $x^2$ es negativo, $a = -1$). Para representarla, calculamos sus puntos clave: 1. **Vértice:** El valor de $x$ en el vértice es: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-500}{2(-1)} = 250$$ Calculamos la ordenada del vértice: $$B(250) = -(250)^2 + 500(250) - 40000 = -62500 + 125000 - 40000 = 22500$$ El vértice es $V(250, 22500)$. 2. **Puntos de corte con el eje X:** Resolvemos $B(x) = 0$: $$-x^2 + 500x - 40000 = 0 \implies x^2 - 500x + 40000 = 0$$ $$x = \frac{500 \pm \sqrt{(-500)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40000}}{2} = \frac{500 \pm \sqrt{250000 - 160000}}{2}$$ $$x = \frac{500 \pm \sqrt{90000}}{2} = \frac{500 \pm 300}{2}$$ Las soluciones son $x_1 = 100$ y $x_2 = 400$. Los puntos son $(100, 0)$ y $(400, 0)$. 3. **Corte con el eje Y:** $B(0) = -40000$. El punto es $(0, -40000)$. 💡 **Tip:** En problemas de economía, $x$ representa unidades producidas, por lo que suele considerarse el dominio $x \ge 0$.

A continuación se muestra la representación gráfica del beneficio en función de las unidades fabricadas:

**b) ¿Cuántas unidades de dicho artículo se deben producir para que el beneficio sea máximo?** Para hallar el máximo de la función $B(x)$, calculamos su primera derivada y la igualamos a cero: $$B'(x) = -2x + 500$$ Resolvemos la ecuación: $$-2x + 500 = 0 \implies 2x = 500 \implies x = 250$$ Ahora justificamos que en $x = 250$ hay un máximo. Podemos usar el criterio de la segunda derivada: $$B''(x) = -2$$ Como $B''(250) = -2 \lt 0$, confirmamos que hay un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** El máximo de una parábola invertida siempre se encuentra en su vértice. En este caso, el vértice ya nos indicaba que el máximo se alcanza en $x = 250$.

Para completar la justificación, analizamos el signo de la derivada a ambos lados del punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 250) & 250 & (250, +\infty)\\\hline B'(x) & + & 0 & -\\\hline B(x) & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array}$$ Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = 250$, se confirma el máximo beneficio. ✅ **Resultado (Unidades para beneficio máximo):** $$\boxed{\text{Se deben producir 250 unidades}}$$