Estudio de la boca de un túnel

**a) Dibujar la superficie de la boca del túnel.** Para representar la superficie, debemos identificar los elementos que la limitan: 1. **La parábola** $y = -x^2 + 16$: Es una parábola con las ramas hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo). Su vértice está en el punto donde la derivada $y' = -2x$ es cero, es decir, en $x=0$. La ordenada del vértice es $y = -(0)^2 + 16 = 16$. El punto es $(0, 16)$. 2. **Las rectas verticales** $x = -2$ y $x = 2$: Estas rectas limitan la anchura del túnel por los lados. 3. **El suelo**: Aunque no se especifica explícitamente el eje $y=0$, en problemas de contexto de túneles se asume que la base está sobre el eje de abscisas ($y=0$). Calculamos los puntos de la parábola en los extremos de las rectas: - Para $x = -2$: $y = -(-2)^2 + 16 = -4 + 16 = 12$. - Para $x = 2$: $y = -(2)^2 + 16 = -4 + 16 = 12$. 💡 **Tip:** Al dibujar, recuerda que el vértice $(0, 16)$ es el punto más alto de la parábola. ✅ **Resultado (Gráfico):** Se representa una región simétrica respecto al eje $Y$, que sube por las rectas $x=\pm 2$ hasta $y=12$ y se cierra por arriba con el arco de la parábola hasta alcanzar los 16 metros de altura.

**b) ¿Podría pasar por el túnel un vehículo de 20 metros de altura?** Para saber si un vehículo puede pasar, debemos comparar su altura con la altura máxima del túnel. La altura máxima del túnel se encuentra en el vértice de la parábola. Como hemos calculado en el paso anterior, el punto más alto de la función $y = -x^2 + 16$ en el intervalo $x \in [-2, 2]$ es el vértice $(0, 16)$. Altura máxima del túnel: $16 \text{ metros}$. Altura del vehículo: $20 \text{ metros}$. Dado que $20 > 16$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, el vehículo no podría pasar porque su altura excede la altura máxima del túnel (16 m).}}$$

**c) ¿Podría pasar por el túnel un vehículo de ocho metros de ancho y 9 metros de alto?** Analicemos las dimensiones del túnel frente a las del vehículo: 1. **Anchura del túnel**: El túnel está limitado por las rectas $x = -2$ y $x = 2$. La distancia entre ellas es: $$\text{Ancho} = 2 - (-2) = 4 \text{ metros}$$ 2. **Anchura del vehículo**: El vehículo mide $8 \text{ metros}$ de ancho. Comparando las medidas: $$\text{Ancho vehículo (8 m)} > \text{Ancho túnel (4 m)}$$ Aunque la altura del vehículo ($9 \text{ m}$) es menor que la altura mínima del techo del túnel en los laterales (que es $12 \text{ m}$ en $x=\pm 2$), el vehículo es físicamente más ancho que la entrada del túnel. 💡 **Tip:** En este tipo de problemas de geometría, basta con que una de las dimensiones (ancho o alto) no quepa para que el vehículo no pueda pasar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No puede pasar porque el vehículo es más ancho (8 m) que el propio túnel (4 m).}}$$

**d) Calcular la superficie de la boca del túnel.** La superficie (área) se calcula mediante la integral definida de la función que limita la parte superior en el intervalo definido por las rectas laterales: $$S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 16) \, dx$$ Como la función es simétrica respecto al eje $Y$ (es una función par), podemos calcular el área de $0$ a $2$ y multiplicar por $2$: $$S = 2 \cdot \int_{0}^{2} (-x^2 + 16) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^2 + 16) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 16x + C$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$S = 2 \cdot \left[ -\frac{x^3}{3} + 16x \right]_{0}^{2} = 2 \cdot \left( \left( -\frac{2^3}{3} + 16(2) \right) - (0) \right)$$ $$S = 2 \cdot \left( -\frac{8}{3} + 32 \right) = 2 \cdot \left( \frac{-8 + 96}{3} \right) = 2 \cdot \left( \frac{88}{3} \right)$$ $$S = \frac{176}{3} \approx 58,67 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área se expresa en unidades cuadradas ($u^2$ o $m^2$ si el enunciado indica metros). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{S = \frac{176}{3} \text{ m}^2 \approx 58,67 \text{ m}^2}$$