Álgebra 2002 Canarias
Optimización lineal en región no acotada
5.- Se tiene la función objetivo $f(x, y) = 3x + 4y$ y las restricciones:
$x \ge 0; y \ge 0; x \le y; x + y \ge 2$
Se pide:
a) Representar la región de posibles soluciones.
b) Hallar el punto de la región donde la función objetivo se minimiza.
c) ¿Puede alcanzar la función objetivo el máximo en esa región?
Paso 1
Definición de las restricciones y semiplanos
**a) Representar la región de posibles soluciones.**
Para representar la región de soluciones factibles, primero transformamos las desigualdades en ecuaciones de rectas para dibujar sus fronteras:
1. $x = 0$ e $y = 0$: Son los ejes de coordenadas. Las restricciones $x \ge 0$ e $y \ge 0$ nos indican que trabajaremos en el **primer cuadrante**.
2. $x = y$: Es la bisectriz del primer cuadrante. Para $x \le y$, la región está por encima de esta recta.
3. $x + y = 2$: Una recta que pasa por los puntos $(2, 0)$ y $(0, 2)$. Para $x + y \ge 2$, la región está en el semiplano que no contiene al origen $(0,0)$, ya que $0+0 \ge 2$ es falso.
💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta elegir, toma un punto de prueba que no esté en la recta (como el $(0,0)$) y comprueba si cumple la inecuación.
Paso 2
Cálculo de los vértices de la región
La región factible está delimitada por la intersección de estos semiplanos. Buscamos los puntos de corte (vértices) de las rectas fronterizas:
* **Vértice A:** Intersección de $x = 0$ y $x + y = 2$.
Si $x = 0 \implies 0 + y = 2 \implies y = 2$. El punto es $A(0, 2)$.
* **Vértice B:** Intersección de $x = y$ y $x + y = 2$.
Sustituimos $x$ por $y$: $y + y = 2 \implies 2y = 2 \implies y = 1$. Como $x = y$, entonces $x = 1$. El punto es $B(1, 1)$.
Notamos que la restricción $x \le y$ junto con $x + y \ge 2$ y $x \ge 0$ define una región que se extiende infinitamente hacia arriba en el eje $y$, por lo que es una **región no acotada**.
$$\boxed{Vértices: A(0, 2), B(1, 1)}$$
Paso 3
Representación gráfica
Representamos gráficamente las rectas y sombreamos la región común que cumple todas las inecuaciones:
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "r1",
"latex": "x \\ge 0",
"color": "#d1d5db"
},
{
"id": "r2",
"latex": "y \\ge 0",
"color": "#d1d5db"
},
{
"id": "r3",
"latex": "y \\ge x",
"color": "#93c5fd"
},
{
"id": "r4",
"latex": "x + y \\ge 2",
"color": "#93c5fd"
},
{
"id": "region",
"latex": "y \\ge x \\{x \\ge 0\\} \\{x+y \\ge 2\\}",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "A",
"latex": "A=(0,2)",
"label": "A(0,2)",
"showLabel": true
},
{
"id": "B",
"latex": "B=(1,1)",
"label": "B(1,1)",
"showLabel": true
}
],
"bounds": {
"left": -1,
"right": 5,
"bottom": -1,
"top": 5
}
}
}
Paso 4
Minimización de la función objetivo
**b) Hallar el punto de la región donde la función objetivo se minimiza.**
Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 3x + 4y$ en los vértices hallados para encontrar el valor mínimo:
* En $A(0, 2)$: $f(0, 2) = 3(0) + 4(2) = 8$
* En $B(1, 1)$: $f(1, 1) = 3(1) + 4(1) = 3 + 4 = 7$
Como la función objetivo tiene coeficientes positivos ($3$ y $4$) y la región crece hacia el infinito en sentido positivo, el valor mínimo debe encontrarse en uno de los vértices de la base.
Comparando los resultados, el valor mínimo es $7$, que se alcanza en el punto $(1, 1)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{El \space mínimo \space se \space alcanza \space en \space (1, 1) \space con \space un \space valor \space de \space 7}$$
Paso 5
Análisis de la existencia de máximo
**c) ¿Puede alcanzar la función objetivo el máximo en esa región?**
Analizamos el comportamiento de la función $f(x, y) = 3x + 4y$ en la región factible.
La región es **no acotada** superiormente (podemos tomar valores de $y$ tan grandes como queramos, siempre que $y \ge x$ y $y \ge 2-x$). Al aumentar el valor de $y$ (o de $x$ e $y$ simultáneamente), el valor de la función objetivo $3x + 4y$ crecerá indefinidamente hacia $+\infty$.
Por ejemplo, el punto $(0, 100)$ pertenece a la región ($0 \ge 0$, $100 \ge 0$, $0 \le 100$, $0 + 100 \ge 2$) y $f(0, 100) = 400$, que es mucho mayor que los valores en los vértices.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{No, la función objetivo no tiene máximo en esta región}}$$