Estimación del tamaño muestral para una media

**a) Hallar el tamaño de la muestra suponiendo que la desviación típica es igual a 10,75, el nivel de significación es del 3% y el error máximo admitido es de 2 euros.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable gasto, que sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$: - Desviación típica: $\sigma = 10,75$ - Nivel de significación: $\alpha = 3\% = 0,03$ - Error máximo admisible: $E = 2$ La fórmula para calcular el tamaño de la muestra $n$ dado un error máximo $E$ es: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ 💡 **Tip:** El error máximo es la mitad de la anchura del intervalo de confianza. Siempre que busquemos el tamaño de la muestra, debemos redondear el resultado al siguiente número entero superior para garantizar que se cumple la condición.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,03$, el nivel de confianza es $1 - \alpha = 0,97$ (97%). Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que el área acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0,03}{2} = 1 - 0,015 = 0,9850$$ Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0,9850$ corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o realizamos una interpolación lineal.

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula del tamaño muestral: $$n = \left( \frac{2,17 \cdot 10,75}{2} \right)^2$$ Realizamos las operaciones paso a paso: 1. Multiplicamos el valor crítico por la desviación: $2,17 \cdot 10,75 = 23,3275$ 2. Dividimos por el error: $23,3275 / 2 = 11,66375$ 3. Elevamos al cuadrado: $11,66375^2 \approx 136,0427$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar que el error no supere los 2 euros, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado (tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 137}$$

**b) Si el nivel de confianza aumenta ¿como afecta al tamaño de la muestra? Justifica la respuesta tomando como nivel de confianza el 99%.** Teóricamente, si el nivel de confianza aumenta ($1-\alpha \uparrow$), el valor de $\alpha$ disminuye, lo que hace que el valor crítico $z_{\alpha/2}$ aumente. Como $z_{\alpha/2}$ está en el numerador de la fórmula de $n$, **el tamaño de la muestra aumentará**. Vamos a comprobarlo calculando $n$ para un nivel de confianza del 99% ($1 - \alpha = 0,99$): 1. Hallamos el nuevo $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0,01}{2} = 0,9950$$ En las tablas, para $0,9950$, el valor crítico es $\mathbf{z_{\alpha/2} = 2,575}$ (promedio entre 2,57 y 2,58). 2. Calculamos el nuevo tamaño $n$: $$n = \left( \frac{2,575 \cdot 10,75}{2} \right)^2 = \left( \frac{27,68125}{2} \right)^2 = (13,840625)^2 \approx 191,56$$ Redondeando al alza, obtenemos $n = 192$. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Al aumentar la confianza del 97% al 99%, la muestra necesaria pasa de 137 a 192.}}$$ **Por tanto, el tamaño de la muestra aumenta.**