Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la proporción

**a) Con un nivel de confianza del 99%, ¿el resultado anterior permite rechazar la hipótesis de que la probabilidad de obtener cruz es de $1/2$?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para el primer caso: - Tamaño de la muestra ($n$): $100$ lanzamientos. - Número de éxitos (cruces): $36$. - Proporción muestral ($\hat{p}$): $\hat{p} = \dfrac{36}{100} = 0,36$. - Proporción de fracasos ($\hat{q}$): $\hat{q} = 1 - 0,36 = 0,64$. - Nivel de confianza: $99\% \implies 1 - \alpha = 0,99$. La hipótesis que queremos contrastar es si la probabilidad real ($p$) es $1/2 = 0,5$. 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el "estimador" de la probabilidad real. Si el valor teórico ($0,5$) cae muy lejos de este estimador, rechazaremos la hipótesis.

Para un nivel de confianza del $99\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$. 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$. 2. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0,005$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$. Mirando en las tablas de la normal, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,995$ está entre $2,57$ y $2,58$. Solemos utilizar el valor exacto o la media: $$z_{\alpha/2} = 2,575$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: - $90\% \implies z_{\alpha/2} = 1,645$ - $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1,96$ - $99\% \implies z_{\alpha/2} = 2,575$

Para saber si podemos rechazar que $p=0,5$, construiremos el intervalo de confianza para la proporción con los datos de nuestra muestra. La fórmula es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error estándar (la raíz): $$\sqrt{\frac{0,36 \cdot 0,64}{100}} = \sqrt{\frac{0,2304}{100}} = \sqrt{0,002304} = 0,048$$ Ahora calculamos el margen de error: $$E = 2,575 \cdot 0,048 = 0,1236$$ Sustituimos en el intervalo: $$IC = (0,36 - 0,1236 \, , \, 0,36 + 0,1236)$$ $$\boxed{IC = (0,2364 \, , \, 0,4836)}$$

Para decidir si rechazamos la hipótesis de que $p = 0,5$, observamos si este valor se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado. En nuestro caso: $$0,5 \notin (0,2364 \, , \, 0,4836)$$ Como el valor $0,5$ es mayor que el límite superior del intervalo ($0,4836$), el resultado obtenido es significativamente distinto de lo esperado para una moneda equilibrada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se rechaza la hipótesis de que } p=0,5 \text{ con un } 99\% \text{ de confianza.}}$$

**b) ¿Qué conclusión podemos sacar si se obtienen 42 cruces en 100 lanzamientos?** Repetimos el proceso con los nuevos datos: - Nueva proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{42}{100} = 0,42$. - Nueva proporción de fracasos: $\hat{q} = 1 - 0,42 = 0,58$. - Mantenemos el nivel de confianza del $99\%$ ($z_{\alpha/2} = 2,575$). Calculamos el nuevo error estándar: $$\sqrt{\frac{0,42 \cdot 0,58}{100}} = \sqrt{\frac{0,2436}{100}} = \sqrt{0,002436} \approx 0,04936$$ Calculamos el nuevo margen de error: $$E = 2,575 \cdot 0,04936 \approx 0,1271$$ Construimos el intervalo: $$IC = (0,42 - 0,1271 \, , \, 0,42 + 0,1271)$$ $$\boxed{IC = (0,2929 \, , \, 0,5471)}$$

Analizamos si el valor teórico $p = 0,5$ está contenido en este nuevo intervalo: $$0,5 \in (0,2929 \, , \, 0,5471)$$ Como el valor $0,5$ sí pertenece al intervalo, no tenemos pruebas estadísticas suficientes para decir que la moneda está trucada o que la probabilidad no sea $0,5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede rechazar la hipótesis de que } p=0,5. \text{ El resultado es compatible con una moneda correcta.}}$$