Distribución de la media muestral y probabilidad normal

**a) Si consideramos muestras de 144 estudiantes ¿cuál es la distribución de la variable media muestral?** Primero, definimos la variable aleatoria poblacional $X$: $X=$ "Estatura de los estudiantes de 2º de bachillerato en Canarias (en cm)". Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(170, 15)$$ Donde: - La media poblacional es $\mu = 170$. - La desviación típica poblacional es $\sigma = 15$. - El tamaño de la muestra es $n = 144$. 💡 **Tip:** Recuerda que para una población normal $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ también sigue una distribución normal.

La variable media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con la misma media que la población y una desviación típica (error estándar) igual a la de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{144}} = \frac{15}{12} = 1.25$$ Por tanto, la distribución de la variable media muestral es: $$\boxed{\bar{X} \sim N(170, 1.25)}$$

**b) Calcular la probabilidad de que, en una muestra de 144 estudiantes, la estatura media sea mayor que 172 centímetros.** Debemos calcular $P(\bar{X} \gt 172)$. Para ello, transformamos la variable $\bar{X}$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{X} \gt 172) = P\left(Z \gt \frac{172 - 170}{1.25}\right) = P\left(Z \gt \frac{2}{1.25}\right) = P(Z \gt 1.6)$$ 💡 **Tip:** La tipificación nos permite usar la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ para cualquier distribución normal.

Como las tablas de la normal estándar suelen darnos la probabilidad acumulada hasta un valor (probabilidades de tipo $Z \le z$), aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 1.6) = 1 - P(Z \le 1.6)$$ Buscando en la tabla de la $N(0, 1)$, para $z = 1.60$, obtenemos $0.9452$: $$P(Z \gt 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548$$ ✅ **Resultado:** La probabilidad de que la estatura media sea mayor que 172 cm es: $$\boxed{P(\bar{X} \gt 172) = 0.0548 \text{ (o } 5.48\%\text{)}}$$

**c) Calcular a partir de qué valor se encuentra el 15% de las estaturas medias superiores.** Buscamos un valor $k$ tal que la probabilidad de que la media sea superior a él sea del 15% ($0.15$): $$P(\bar{X} \gt k) = 0.15$$ Esto es equivalente a decir que la probabilidad de ser menor o igual a $k$ es del 85% ($0.85$): $$P(\bar{X} \le k) = 1 - 0.15 = 0.85$$ Tipificamos el valor $k$: $$P\left(Z \le \frac{k - 170}{1.25}\right) = 0.85$$ Llamamos $z_0 = \frac{k - 170}{1.25}$ al valor de la normal estándar que deja por debajo una probabilidad de $0.85$.

Buscamos en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor de $z_0$ que corresponde a una probabilidad de $0.85$. Observamos que: - Para $z = 1.03$, $P(Z \le 1.03) = 0.8485$ - Para $z = 1.04$, $P(Z \le 1.04) = 0.8508$ Tomamos el valor más aproximado (o realizamos una interpolación), que es **$z_0 = 1.04$**. Ahora, despejamos $k$ de la fórmula de tipificación: $$1.04 = \frac{k - 170}{1.25}$$ $$k - 170 = 1.04 \cdot 1.25$$ $$k - 170 = 1.3$$ $$k = 171.3 \text{ cm}$$ ✅ **Resultado:** El 15% de las estaturas medias superiores se encuentran a partir de: $$\boxed{171.3 \text{ cm}}$$