Optimización de la producción de agua potable

**a) ¿Cuántos trabajadores tienen que contratar para que la potabilizadora produzca lo máximo posible?** Primero, expresamos la función de producción $P(x)$ de una forma más sencilla para derivar, multiplicando los términos: $$P(x) = x(60 - x) = 60x - x^2$$ Donde: - $x$ representa el **número de trabajadores**. - $P(x)$ representa las **toneladas de agua potable**. Esta es una función cuadrática (una parábola invertida), por lo que tendrá un máximo en su vértice. 💡 **Tip:** Recuerda que para maximizar una función debemos hallar su derivada y buscar los puntos donde esta se anula ($P'(x) = 0$).

Calculamos la primera derivada de $P(x)$: $$P'(x) = 60 - 2x$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $x$ que maximiza la producción: $$60 - 2x = 0 \implies 60 = 2x \implies x = \frac{60}{2} = 30$$ Obtenemos que el punto crítico está en **$x = 30$** trabajadores.

Para confirmar que en $x = 30$ hay un máximo, estudiamos el signo de la derivada a ambos lados del punto o utilizamos la segunda derivada. **Método de la segunda derivada:** $$P''(x) = -2$$ Como $P''(30) = -2 \lt 0$, confirmamos que se trata de un **máximo relativo**. **Tabla de monotonía:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 30) & 30 & (30, 60) \\ \hline P'(x) & + & 0 & - \\ \hline P(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ La producción máxima será: $$P(30) = 30(60 - 30) = 30 \cdot 30 = 900 \text{ toneladas}$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{30 \text{ trabajadores}}$$

**b) Hacer la gráfica de la producción y averiguar a partir de cuántos trabajadores la empresa tiene que dejar de producir.** Para representar la función $P(x) = 60x - x^2$, buscamos los puntos de corte con el eje $X$ (cuando la producción es cero): $$x(60 - x) = 0$$ Esto ocurre en dos casos: 1. $x = 0$ 2. $60 - x = 0 \implies x = 60$ Los puntos de corte son $(0, 0)$ y $(60, 0)$. El vértice, como hemos calculado antes, es el punto $(30, 900)$. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, el dominio suele ser $x \ge 0$, ya que no puede haber un número negativo de trabajadores.

La empresa debe dejar de contratar trabajadores cuando la producción deje de ser positiva. Según hemos visto en los puntos de corte: - Si $x \lt 60$, la producción $P(x)$ es positiva. - Si $x = 60$, la producción es cero. - Si $x \gt 60$, la producción sería negativa ($P(x) \lt 0$), lo cual no tiene sentido físico ni económico. Por tanto, a partir de **60 trabajadores**, la producción se anula o se vuelve negativa. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{A partir de 60 trabajadores}}$$

A continuación se muestra la gráfica de la función de producción. Se observa cómo crece hasta los 30 trabajadores y decrece hasta llegar a cero a los 60 trabajadores.