Sistema de ecuaciones: Problema de barriles de petróleo

**a) Plantear las ecuaciones que correspondan al enunciado.** En primer lugar, definimos las variables que representan las cantidades desconocidas (en este caso, el número de barriles de cada tipo): - $x$: número de barriles de tipo A. - $y$: número de barriles de tipo B. - $z$: número de barriles de tipo C. Traducimos la información del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1) **Total de barriles:** La suma de los tres tipos es 5.400. $$x + y + z = 5.400$$ 2) **Coste total:** Multiplicamos la cantidad de cada barril por su precio unitario para obtener el total de 156.000 €. $$27x + 28y + 31z = 156.000$$ 3) **Condición del primer suministrador:** El tipo A (primer suministrador) representa el 30% del total de barriles (5.400). $$x = 0,30 \cdot 5.400$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, es fundamental identificar las unidades. Aquí $x, y, z$ son barriles y los coeficientes son euros/barril. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 5.400 \\ 27x + 28y + 31z = 156.000 \\ x = 1.620 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuál es la cantidad de petróleo de cada tipo comprado?** Como ya conocemos el valor de $x$ gracias a la tercera condición, podemos sustituirlo en las otras dos ecuaciones para reducir el sistema a dos incógnitas ($y$ y $z$): Sustituimos $x = 1.620$ en la primera ecuación: $$1.620 + y + z = 5.400 \implies y + z = 5.400 - 1.620$$ $$y + z = 3.780$$ Sustituimos $x = 1.620$ en la segunda ecuación: $$27(1.620) + 28y + 31z = 156.000$$ $$43.740 + 28y + 31z = 156.000$$ $$28y + 31z = 156.000 - 43.740$$ $$28y + 31z = 112.260$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} y + z = 3.780 \\ 28y + 31z = 112.260 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre es más sencillo sustituir una variable conocida directamente que aplicar métodos más complejos como Gauss o Cramer si una de las incógnitas ya está aislada.

Utilizamos el método de sustitución despejando $y$ en la primera ecuación: $$y = 3.780 - z$$ Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación: $$28(3.780 - z) + 31z = 112.260$$ Operamos paso a paso: $$105.840 - 28z + 31z = 112.260$$ $$3z = 112.260 - 105.840$$ $$3z = 6.420$$ $$z = \frac{6.420}{3} = 2.140$$ Ahora calculamos el valor de $y$: $$y = 3.780 - 2.140 = 1.640$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas, asegúrate de realizar las multiplicaciones con cuidado para no arrastrar errores numéricos.

Una vez hallados los valores de las tres incógnitas, resumimos la solución indicando las unidades: - Cantidad de petróleo tipo A ($x$): **1.620 barriles**. - Cantidad de petróleo tipo B ($y$): **1.640 barriles**. - Cantidad de petróleo tipo C ($z$): **2.140 barriles**. Podemos comprobar que la suma es correcta: $1.620 + 1.640 + 2.140 = 5.400$ barriles. ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{A: 1.620, \quad B: 1.640, \quad C: 2.140 \text{ barriles}}$$