Contraste de hipótesis para la proporción

**a) ¿Es aceptable la afirmación del profesor con un nivel de significación de 0.01?** Primero, definimos la proporción poblacional $p$ como la proporción de alumnos que fuman. El profesor afirma que $p \le 0.15$. Esto configura un **contraste de hipótesis unilateral a la derecha**: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \le 0.15$ (La afirmación del profesor es cierta). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \gt 0.15$ (La proporción es mayor de lo que afirma el profesor). Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 60$. - Número de fumadores observados: $x = 12$. - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{12}{60} = 0.2$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.01$. 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis nula $H_0$ suele contener el signo de igualdad ($=$, $\le$ o $\ge$). Si queremos refutar que algo 'no sobrepasa', buscamos evidencia de que es 'mayor que'.

Para muestras grandes ($n \gt 30$), el estadístico de contraste para una proporción sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta ($p = p_0 = 0.15$): $$Z_{calc} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{calc} = \frac{0.2 - 0.15}{\sqrt{\dfrac{0.15 \cdot 0.85}{60}}} = \frac{0.05}{\sqrt{\dfrac{0.1275}{60}}} = \frac{0.05}{\sqrt{0.002125}} \approx \frac{0.05}{0.0461} \approx 1.0846$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el denominador representa la desviación típica de la proporción muestral: $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p q}{n}}$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$ en un contraste unilateral a la derecha, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.01$. Esto equivale a buscar en la tabla de la normal $P(Z \le z_{\alpha}) = 0.99$. Mirando la tabla: $$z_{0.01} = 2.33$$ **Regla de decisión:** - Si $Z_{calc} \gt 2.33$, rechazamos $H_0$. - Si $Z_{calc} \le 2.33$, no rechazamos $H_0$. Como $Z_{calc} = 1.0846 \lt 2.33$, **no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula**. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{\text{Sí, la afirmación del profesor es aceptable con } \alpha = 0.01}$$

**b) ¿La afirmación del apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 90%?** Un nivel de confianza del $90\%$ implica que el nivel de significación es $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$. En este caso, buscamos el nuevo valor crítico $z_{0.10}$ para un contraste unilateral a la derecha: $$P(Z \le z_{0.10}) = 0.90$$ Consultando las tablas de la normal estándar, encontramos que para una probabilidad de $0.90$, el valor es aproximadamente: $$z_{0.10} = 1.28$$ Comparamos nuestro estadístico calculado anteriormente ($Z_{calc} = 1.0846$) con el nuevo valor crítico: $$1.0846 \lt 1.28$$ Dado que el estadístico sigue estando fuera de la región crítica (no es lo suficientemente grande para rechazar la afirmación), la conclusión sigue siendo la misma: **no se rechaza la afirmación del profesor**. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{\text{Sí, la conclusión es la misma: la afirmación sigue siendo aceptable}}$$