Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) Encontrar un intervalo de confianza, con nivel de confianza del 99%, para la media del número de horas que tarda en curar el medicamento.** Primero, identificamos los datos proporcionados por el enunciado para la variable $X$, que representa el número de horas para curar la enfermedad: - La variable sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 8$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 32$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$. 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media, es fundamental distinguir entre la desviación típica de la población ($\sigma$) y la media de la muestra ($\bar{x}$).

Para un nivel de confianza del $99\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$. 2. $\alpha/2 = 0.005$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. Consultando la tabla de la normal $N(0, 1)$, vemos que para una probabilidad de $0.995$, el valor de $z$ está entre $2.57$ y $2.58$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** Si no quieres interpolar, usar $2.58$ suele ser aceptado, pero $2.575$ es más preciso para el $99\%$.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot \frac{8}{\sqrt{100}} = 2.575 \cdot \frac{8}{10} = 2.575 \cdot 0.8 = 2.06$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $32 - 2.06 = 29.94$ - Extremo superior: $32 + 2.06 = 34.06$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{I.C. = (29.94, 34.06)}$$

**b) Si el nivel de significación es igual a 0.05, ¿cuál es el tamaño de la muestra que habría que considerar para estimar el valor de la media con un error menor de 3 horas?** Actualizamos los datos para este nuevo escenario: - Nivel de significación: $\alpha = 0.05 \implies 1 - \alpha = 0.95$ (confianza). - Error máximo: $E \lt 3$. - Desviación típica: $\sigma = 8$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para $\alpha = 0.05$: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.05}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$. Buscando en la tabla: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El nivel de significación $\alpha$ es la probabilidad de que el parámetro real quede fuera del intervalo de confianza.

Utilizamos la fórmula del error para despejar el tamaño de la muestra ($n$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Elevando al cuadrado: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores para que el error sea exactamente $3$: $$n = \left( \frac{1.96 \cdot 8}{3} \right)^2 = \left( \frac{15.68}{3} \right)^2 = (5.2267)^2 \approx 27.318$$ Como buscamos un error **menor** que 3, necesitamos que el denominador de la fórmula original sea mayor, por lo que debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error no supere el límite. $n \ge 28$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{n = 28 \text{ enfermos}}$$