Análisis de beneficios de una empresa

**a) ¿Cuándo la empresa deja de tener pérdidas?** En una función de beneficios, la empresa tiene pérdidas cuando el valor de la función es negativo ($b(t) \lt 0$) y tiene beneficios cuando es positivo ($b(t) \gt 0$). Por lo tanto, dejará de tener pérdidas en el instante en que el beneficio sea igual a cero. Planteamos la ecuación: $$b(t) = 0 \implies \frac{t^2 - 6}{t + 4} = 0$$ Para que una fracción sea cero, el numerador debe ser igual a cero: $$t^2 - 6 = 0 \implies t^2 = 6 \implies t = \pm\sqrt{6}$$ Como el tiempo $t$ debe estar en el intervalo $[0, 5]$, descartamos la solución negativa. Por tanto: $$t = \sqrt{6} \approx 2.45 \text{ años}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de contexto real, las variables como el tiempo suelen tener restricciones (en este caso $t \ge 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La empresa deja de tener pérdidas a los } \sqrt{6} \approx 2.45 \text{ años}}$$

**b) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que los beneficios sean iguales a 125000 euros?** Es fundamental prestar atención a las unidades. La función $b(t)$ devuelve el beneficio en **cientos de miles de euros**. Debemos convertir 125,000 euros a las unidades de la función: $$\frac{125,000}{100,000} = 1.25$$ Por tanto, buscamos el valor de $t$ tal que $b(t) = 1.25$: $$\frac{t^2 - 6}{t + 4} = 1.25$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que las unidades del enunciado coinciden con las unidades de la función antes de operar.

Multiplicamos ambos miembros por $(t+4)$ para eliminar el denominador: $$t^2 - 6 = 1.25(t + 4)$$ $$t^2 - 6 = 1.25t + 5$$ $$t^2 - 1.25t - 11 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-1.25) \pm \sqrt{(-1.25)^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)}$$ $$t = \frac{1.25 \pm \sqrt{1.5625 + 44}}{2} = \frac{1.25 \pm \sqrt{45.5625}}{2}$$ $$t = \frac{1.25 \pm 6.75}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $t_1 = \frac{1.25 + 6.75}{2} = \frac{8}{2} = 4$ 2. $t_2 = \frac{1.25 - 6.75}{2} = -2.75$ (No válida por ser negativa y estar fuera del dominio $[0, 5]$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Tienen que pasar 4 años}}$$

**c) ¿Para qué valores la derivada de la función beneficio es positiva? Justificar la respuesta.** Calculamos la derivada de $b(t)$ utilizando la regla del cociente: $$b'(t) = \frac{(t^2 - 6)'(t + 4) - (t^2 - 6)(t + 4)'}{(t + 4)^2}$$ $$b'(t) = \frac{2t(t + 4) - (t^2 - 6)(1)}{(t + 4)^2}$$ $$b'(t) = \frac{2t^2 + 8t - t^2 + 6}{(t + 4)^2}$$ $$b'(t) = \frac{t^2 + 8t + 6}{(t + 4)^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para que la derivada sea positiva ($b'(t) \gt 0$), analizamos los signos del numerador y el denominador: 1. **Denominador:** $(t + 4)^2$ siempre es positivo para cualquier valor de $t$ en el dominio $[0, 5]$, ya que es un cuadrado perfecto y $t+4 \ne 0$. 2. **Numerador:** Analizamos $t^2 + 8t + 6$ en el intervalo $[0, 5]$. Dado que todos los coeficientes son positivos y $t$ es positivo o cero, la expresión $t^2 + 8t + 6$ siempre será mayor o igual a 6 en ese intervalo. Como tanto el numerador como el denominador son siempre positivos para $0 \le t \le 5$, entonces $b'(t) \gt 0$ en todo el dominio. $$\begin{array}{c|c} t & [0, 5] \\ \hline t^2+8t+6 & + \\ (t+4)^2 & + \\ \hline b'(t) & + \end{array}$$ Esto significa que la función de beneficios es **estrictamente creciente** durante los 5 años. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b'(t) \gt 0 \text{ para todo } t \in [0, 5]}$$