Optimización de beneficios por alquiler

**a) ¿Cuál es el alquiler que más beneficios producirá al propietario?** Para resolver este problema de optimización, primero debemos definir una variable que relacione el aumento de precio con la pérdida de inquilinos. Sea $x$ el número de veces que se aumenta el alquiler en $7$ euros. - El **precio del alquiler** por piso será: $P(x) = 266 + 7x$ - El **número de pisos alquilados** será: $N(x) = 52 - x$ El beneficio total $B(x)$ es el producto del número de pisos por el precio de cada uno: $$B(x) = (266 + 7x) \cdot (52 - x)$$ Multiplicamos los binomios para obtener la expresión polinómica: $$B(x) = 266 \cdot 52 - 266x + 7x \cdot 52 - 7x^2$$ $$B(x) = 13832 - 266x + 364x - 7x^2$$ $$B(x) = -7x^2 + 98x + 13832$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso fundamental es construir la función que queremos maximizar o minimizar basándonos en los datos del enunciado.

Para hallar el máximo beneficio, calculamos la primera derivada de la función $B(x)$ e igualamos a cero: $$B'(x) = -14x + 98$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-14x + 98 = 0 \implies 14x = 98 \implies x = \frac{98}{14} = 7$$ Ahora, comprobamos si es un máximo utilizando la segunda derivada: $$B''(x) = -14$$ Como $B''(7) = -14 \lt 0$, confirmamos que en $x = 7$ existe un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** Recuerda el criterio de la segunda derivada: si $f''(a) \lt 0$ en un punto donde $f'(a) = 0$, entonces hay un máximo en $x=a$.

Hemos determinado que el beneficio máximo se alcanza cuando se realizan $x = 7$ incrementos de precio. Sustituimos este valor en la expresión del precio del alquiler $P(x)$: $$P(7) = 266 + 7(7) = 266 + 49 = 315 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado (alquiler óptimo):** $$\boxed{315 \text{ euros/mes}}$$

**b) ¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir el propietario por el alquiler de los pisos?** Para calcular la cantidad máxima, sustituimos $x = 7$ en la función de beneficio original $B(x)$: Sabemos que para $x=7$: - El precio es $315$ euros. - El número de inquilinos es $N(7) = 52 - 7 = 45$ inquilinos. El beneficio máximo será: $$B(7) = 315 \cdot 45 = 14175 \text{ euros}$$ También podríamos haber sustituido directamente en la función desarrollada: $$B(7) = -7(7)^2 + 98(7) + 13832 = -343 + 686 + 13832 = 14175$$ ✅ **Resultado (beneficio máximo):** $$\boxed{14175 \text{ euros al mes}}$$