Problema de sistemas de ecuaciones: Visitantes de un museo

Para resolver el problema, lo primero es identificar qué queremos calcular y asignar una variable a cada incógnita: * $x$: número de visitantes de la **sala A**. * $y$: número de visitantes de la **sala B**. * $z$: número de visitantes de la **sala C**. 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el paso más importante para no confundir los datos durante la resolución.

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico para formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1. **Total de personas:** Entraron un total de 210 personas. $$x + y + z = 210$$ 2. **Recaudación total:** La suma del dinero obtenido por cada sala (precio $\cdot$ visitantes) es 810 euros. $$2x + 4y + 7z = 810$$ 3. **Relación entre salas A y B:** La novena parte de $x$ es igual a la séptima parte de $y$. $$\frac{x}{9} = \frac{y}{7}$$ Si multiplicamos en cruz la tercera ecuación, obtenemos: $$7x = 9y \implies 7x - 9y = 0$$ El sistema a resolver es: $$\begin{cases} x + y + z = 210 \\ 2x + 4y + 7z = 810 \\ 7x - 9y = 0 \end{cases}$$

Vamos a resolver el sistema utilizando el método de sustitución, ya que la tercera ecuación permite despejar una variable fácilmente. De la ecuación (3), despejamos $x$: $$x = \frac{9y}{7}$$ De la ecuación (1), despejamos $z$ en función de $x$ e $y$: $$z = 210 - x - y$$ Ahora sustituimos ambas expresiones en la ecuación (2), que es la de la recaudación: $$2\left(\frac{9y}{7}\right) + 4y + 7(210 - x - y) = 810$$ Sustituimos también la $x$ dentro del paréntesis: $$2\left(\frac{9y}{7}\right) + 4y + 7\left(210 - \frac{9y}{7} - y\right) = 810$$ Multiplicamos para quitar paréntesis: $$\frac{18y}{7} + 4y + 1470 - 9y - 7y = 810$$ Agrupamos términos con $y$ y pasamos los números al otro lado: $$\frac{18y}{7} - 12y = 810 - 1470$$ $$\frac{18y}{7} - 12y = -660$$ Multiplicamos toda la ecuación por 7 para eliminar el denominador: $$18y - 84y = -4620$$ $$-66y = -4620$$ $$y = \frac{-4620}{-66}$$ $$\mathbf{y = 70}$$ 💡 **Tip:** Si al resolver un problema de personas el resultado no es un número entero positivo, revisa el planteamiento del sistema o las operaciones, ¡no pueden haber entrado media persona a una sala!

Una vez hallado el valor de $y$, calculamos $x$ y $z$ sustituyendo en las fórmulas anteriores: Para **x**: $$x = \frac{9(70)}{7} = 9 \cdot 10 = \mathbf{90}$$ Para **z**: $$z = 210 - 90 - 70 = 210 - 160 = \mathbf{50}$$ **Comprobación:** * Suma de personas: $90 + 70 + 50 = 210$ (Correcto) * Recaudación: $2(90) + 4(70) + 7(50) = 180 + 280 + 350 = 810$ (Correcto) * Relación A y B: $90/9 = 10$ y $70/7 = 10$ (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Sala A: 90 visitantes, Sala B: 70 visitantes, Sala C: 50 visitantes}}$$