Distribución binomial y su aproximación a la normal

**a) Número esperado de ciudadanos que no van a su trabajo en transporte público.** Primero, definimos nuestra variable aleatoria. Sea $X$ el número de ciudadanos que utilizan el transporte público de una muestra de $n = 140$. La probabilidad de que un habitante use transporte público es: $$p = \frac{2}{8} = 0.25$$ La probabilidad de que no lo use es: $$q = 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75$$ Como tenemos un número fijo de ensayos independientes ($n=140$) y la probabilidad es constante, estamos ante una **Distribución Binomial**: $X \sim B(140, \, 0.25)$. 💡 **Tip:** En una distribución binomial $B(n, p)$, el éxito es lo que queremos contar. Aquí, para el apartado a), nos piden los que **no** usan transporte, por lo que podemos usar $q$ directamente.

El número esperado (o media) de una distribución binomial se calcula con la fórmula: $$\mu = E[X] = n \cdot p$$ En este caso, nos preguntan por los ciudadanos que **no** van en transporte público, por lo que usaremos la probabilidad $q = 0.75$: $$E[\text{No transporte}] = 140 \cdot 0.75 = 105$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{105 \text{ ciudadanos}}$$

**b) Probabilidad de que el número de ciudadanos que van al trabajo en transporte público esté entre 30 y 45.** Queremos calcular $P(30 \le X \le 45)$ donde $X \sim B(140, \, 0.25)$. Como $n$ es muy grande, realizar los cálculos con la fórmula de la binomial sería muy laborioso. Comprobamos si podemos aproximar a una **Normal**: 1. $n \cdot p = 140 \cdot 0.25 = 35 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 140 \cdot 0.75 = 105 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos aproximar $X$ por una variable normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 35$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{140 \cdot 0.25 \cdot 0.75} = \sqrt{26.25} \approx 5.12$ Por tanto: **$X \approx X' \sim N(35, \, 5.12)$** 💡 **Tip:** La aproximación de De Moivre-Laplace es válida cuando $n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot q \ge 5$.

Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección por continuidad** (sumar/restar 0.5 a los límites): $$P(30 \le X \le 45) \approx P(30 - 0.5 \le X' \le 45 + 0.5)$$ $$P(29.5 \le X' \le 45.5)$$ 💡 **Tip:** Si el intervalo es cerrado (incluye el 30 y el 45), ampliamos el intervalo medio punto hacia afuera para no perder la probabilidad de esos valores exactos.

Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla $N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left( \frac{29.5 - 35}{5.12} \le Z \le \frac{45.5 - 35}{5.12} \right)$$ $$P\left( \frac{-5.5}{5.12} \le Z \le \frac{10.5}{5.12} \right)$$ $$P(-1.07 \le Z \le 2.05)$$ Calculamos la probabilidad: $$P(Z \le 2.05) - P(Z \le -1.07)$$ $$P(Z \le 2.05) - [1 - P(Z \le 1.07)]$$ Buscamos en la tabla: - $P(Z \le 2.05) = 0.9798$ - $P(Z \le 1.07) = 0.8577$ Sustituimos: $$0.9798 - (1 - 0.8577) = 0.9798 - 0.1423 = 0.8375$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.8375}$$