Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) Determinar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para el porcentaje de inmigrantes en la ciudad.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la proporción muestral: - Tamaño de la muestra: $n = 600$ - Número de inmigrantes observados: $x = 30$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$) y su complementaria ($\hat{q}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{30}{600} = 0.05$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.05 = 0.95$$ Esto significa que el porcentaje de inmigrantes en la muestra es del $5\%$. 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el mejor estimador puntual de la proporción poblacional $p$.

Para un nivel de confianza del $0.95$ ($95\%$), debemos hallar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad entre $-z_{\alpha/2}$ y $z_{\alpha/2}$ sea $0.95$. 1. El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.95$, por lo que $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$. 2. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ que deja a su izquierda una probabilidad de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Buscando en las tablas de la distribución Normal: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ ✅ **Valor crítico:** $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

La fórmula del error máximo admisible para una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.05 \cdot 0.95}{600}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.0475}{600}} \approx 1.96 \cdot 0.008897 \approx 0.0174$$ El intervalo de confianza se construye como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.05 - 0.0174, \, 0.05 + 0.0174) = (0.0326, \, 0.0674)$$ Para expresarlo como porcentaje, multiplicamos por 100: $$IC = (3.26\%, \, 6.74\%)$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{IC = (0.0326, \, 0.0674) \implies (3.26\%, \, 6.74\%)}$$

**b) Si se quiere estimar el porcentaje de inmigrantes con un error máximo de 0.02, ¿cuál es el tamaño de la muestra que habría que considerar si se usa un nivel de significación del 1%?** En este apartado, cambian las condiciones: - Error máximo: $E = 0.02$ - Nivel de significación: $\alpha = 1\% = 0.01$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99\%$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$$ Buscando en las tablas de la Normal (o haciendo la media entre $2.57$ y $2.58$): $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** El nivel de significación es la probabilidad de que el parámetro real quede fuera del intervalo de confianza.

Utilizamos la fórmula del tamaño muestral despejada del error: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Como no nos dicen nada sobre un cambio en la proporción, seguimos usando la estimación previa $\hat{p} = 0.05$ y $\hat{q} = 0.95$: $$n = \frac{(2.575)^2 \cdot 0.05 \cdot 0.95}{(0.02)^2}$$ $$n = \frac{6.630625 \cdot 0.0475}{0.0004} = \frac{0.314954...}{0.0004} \approx 787.39$$ Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **máximo**, siempre debemos redondear al alza al siguiente número entero para garantizar que el error no supere el $0.02$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{n = 788 \text{ personas}}$$