Contraste de hipótesis para la media poblacional

**a) ¿Se puede aceptar con un nivel de significación igual a 0.05 la afirmación del equipo directivo?** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Media poblacional bajo la hipótesis ($\mu_0$): $2.5$ km. - Desviación típica poblacional ($\sigma$): $0.5$ km. - Tamaño de la muestra ($n$): $81$ alumnos. - Media muestral ($\bar{x}$): $2.6$ km. - Nivel de significación ($\alpha$): $0.05$. Planteamos las hipótesis. El equipo afirma que la media es "a lo sumo" $2.5$ km, lo que significa que es menor o igual. Por tanto, tenemos un contraste unilateral derecho: $$H_0: \mu \le 2.5 \text{ (Afirmación del equipo directivo)}$$ $$H_1: \mu \gt 2.5$$ 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) suele contener la igualdad ($\le, \ge, =$). Como nos dicen "a lo sumo", incluimos el $\le$ en $H_0$.

Como el tamaño de la muestra es grande ($n = 81 \gt 30$), la distribución de la media muestral sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos el valor del estadístico de contraste ($Z_{exp}$), que nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media teórica: $$Z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{exp} = \frac{2.6 - 2.5}{\frac{0.5}{\sqrt{81}}} = \frac{0.1}{\frac{0.5}{9}} = \frac{0.1}{0.0556} = 1.8$$ $$\boxed{Z_{exp} = 1.8}$$

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 0.95$. Buscando en las tablas de la distribución Normal $N(0,1)$: $$P(Z \le 1.645) = 0.95 \implies z_{\alpha} = 1.645$$ La **región de aceptación** es el intervalo $(-\infty, 1.645]$ y la **región de rechazo** es $(1.645, +\infty)$. Comparamos el estadístico con el valor crítico: $$Z_{exp} = 1.8 \gt 1.645$$ Como el valor experimental cae en la región de rechazo, debemos rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la afirmación del equipo directivo con } \alpha = 0.05}$$

**b) ¿La respuesta al apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 99%?** Un nivel de confianza del $99\%$ implica un nivel de significación $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$. Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 0.99$. Mirando en la tabla de la normal: $$P(Z \le 2.326) \approx 0.99 \implies z_{\alpha} = 2.326$$ (A veces se usa $2.33$ como aproximación rápida). Comparamos nuestro estadístico calculado anteriormente ($Z_{exp} = 1.8$) con este nuevo valor crítico: $$Z_{exp} = 1.8 \lt 2.326$$ En este caso, el valor experimental **cae dentro de la región de aceptación** $(-\infty, 2.326]$. Por tanto, con un nivel de confianza del $99\%$, no hay evidencia suficiente para rechazar la afirmación del equipo directivo. La respuesta **no es la misma**. 💡 **Tip:** Cuanto menor es el nivel de significación (o mayor la confianza), más difícil es rechazar la hipótesis nula porque la región de aceptación se hace más grande. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, la respuesta cambia. Al 99\% de confianza sí se aceptaría la afirmación}}$$