Evolución de la población de delfines

**a) Determinar el número de delfines que habrá dentro de 9 años.** Para resolver este apartado, debemos evaluar la función en el instante $t = 9$ años. Sustituimos el valor de $t$ en la expresión de $n(t)$: $$n(9) = \frac{15000(9) + 4000}{2(9) + 2}$$ Calculamos los valores del numerador y el denominador por separado: - Numerador: $15000 \cdot 9 + 4000 = 135000 + 4000 = 139000$ - Denominador: $2 \cdot 9 + 2 = 18 + 2 = 20$ Dividimos ambos resultados: $$n(9) = \frac{139000}{20} = 6950$$ 💡 **Tip:** En problemas de funciones que modelizan situaciones reales, la variable independiente (en este caso $t$) suele representar el tiempo. Evaluar la función en un punto nos da el estado del sistema en ese momento exacto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{6950\text{ delfines}}$$

**b) ¿Cuántos años han de pasar hasta que hayan 7250 delfines?** En este apartado conocemos el valor de la población $n(t) = 7250$ y necesitamos hallar el valor de $t$ que satisface la igualdad: $$7250 = \frac{15000t + 4000}{2t + 2}$$ Para despejar $t$, pasamos el denominador multiplicando al término de la izquierda: $$7250 \cdot (2t + 2) = 15000t + 4000$$ Aplicamos la propiedad distributiva: $$14500t + 14500 = 15000t + 4000$$ Agrupamos los términos con $t$ en un lado y los términos numéricos en el otro: $$14500 - 4000 = 15000t - 14500t$$ $$10500 = 500t$$ Finalmente, despejamos $t$ dividiendo: $$t = \frac{10500}{500} = 21$$ 💡 **Tip:** Al trabajar con ecuaciones racionales (con la incógnita en el denominador), siempre debemos asegurarnos de que el valor obtenido no anule el denominador original. En este caso, $t=21$ es una solución válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{21\text{ años}}$$

**c) Determinar el valor hacia el que tenderá en el futuro el número de delfines de la reserva.** La expresión "tenderá en el futuro" nos indica que debemos estudiar el comportamiento de la función cuando el tiempo crece indefinidamente, es decir, calcular el límite cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} n(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{15000t + 4000}{2t + 2}$$ Estamos ante un límite de una función racional donde el grado del numerador (1) es igual al grado del denominador (1). Para resolverlo, dividimos los coeficientes principales de los términos de mayor grado: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{15000t + 4000}{2t + 2} = \frac{15000}{2} = 7500$$ Esto significa que la población no crecerá indefinidamente, sino que se estabilizará en torno a los 7500 delfines (existencia de una asíntota horizontal $y=7500$). 💡 **Tip:** El límite en el infinito de una función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$ se resume en: 1. Si $\text{grado}(P) < \text{grado}(Q) \implies \text{Límite} = 0$ 2. Si $\text{grado}(P) = \text{grado}(Q) \implies \text{Límite} = \text{cociente de coeficientes}$ 3. Si $\text{grado}(P) > \text{grado}(Q) \implies \text{Límite} = \pm\infty$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{7500\text{ delfines}}$$