Optimización en Programación Lineal

**a) Representarla gráficamente.** Para representar la región, primero identificamos las rectas que limitan cada desigualdad. Transformamos las inecuaciones en ecuaciones de rectas: 1. $r_1: 2x + 2y = 10 \implies x + y = 5$ 2. $r_2: -x + 2y = 4$ 3. $r_3: x = 0$ (Eje $Y$) 4. $r_4: y = 0$ (Eje $X$) Calculamos un par de puntos para cada una de las dos primeras rectas: - Para $r_1$: Si $x=0 \implies y=5$, punto $(0, 5)$. Si $y=0 \implies x=5$, punto $(5, 0)$. - Para $r_2$: Si $x=0 \implies y=2$, punto $(0, 2)$. Si $y=0 \implies -x=4 \implies x=-4$, punto $(-4, 0)$. 💡 **Tip:** Para representar rectas, lo más sencillo es buscar los puntos de corte con los ejes (donde $x=0$ o $y=0$).

Para saber qué lado de cada recta cumple la desigualdad, tomamos un punto de prueba que no esté en la recta, por ejemplo el origen $O(0,0)$: - Para $2x + 2y \le 10$: $2(0) + 2(0) = 0 \le 10$. Se cumple, luego la región es el semiplano que **contiene al origen**. - Para $-x + 2y \le 4$: $-(0) + 2(0) = 0 \le 4$. Se cumple, luego la región es el semiplano que **contiene al origen**. - $x \ge 0$ e $y \ge 0$: Indica que la región se encuentra en el **primer cuadrante**. La intersección de estos semiplanos define un polígono cerrado (región factible). $$\boxed{\text{Región convexa acotada por los vértices del primer cuadrante}}$$

Los vértices son los puntos de corte de las rectas que limitan la región: 1. **Vértice A**: Corte de $x=0$ e $y=0$. $\implies \mathbf{A(0,0)}$ 2. **Vértice B**: Corte de $x=0$ con $-x + 2y = 4$. Si $x=0 \implies 2y=4 \implies y=2$. $\implies \mathbf{B(0,2)}$ 3. **Vértice D**: Corte de $y=0$ con $2x + 2y = 10$. Si $y=0 \implies 2x=10 \implies x=5$. $\implies \mathbf{D(5,0)}$ 4. **Vértice C**: Corte de $2x + 2y = 10$ y $-x + 2y = 4$. Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x + y = 5 \quad (1) \\ -x + 2y = 4 \quad (2) \end{cases}$$ Sumamos (1) y (2): $3y = 9 \implies y = 3$ Sustituimos en (1): $x + 3 = 5 \implies x = 2$ Por tanto, $\mathbf{C(2,3)}$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal dice que el óptimo (máximo o mínimo) se encuentra siempre en uno de los vértices de la región factible.

**b) Determinar el punto de la región anterior en el que se maximiza $z = 4x + 5y$.** Evaluamos la función objetivo $z(x, y) = 4x + 5y$ en cada uno de los vértices hallados: - En $A(0, 0)$: $z(0, 0) = 4(0) + 5(0) = 0$ - En $B(0, 2)$: $z(0, 2) = 4(0) + 5(2) = 10$ - En $C(2, 3)$: $z(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 8 + 15 = 23$ - En $D(5, 0)$: $z(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20$ Comparando los resultados, el valor máximo es **23** y se alcanza en el punto **(2, 3)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo de } z \text{ es } 23 \text{ y se alcanza en el punto } (2, 3)}$$