Intervalos de confianza para la proporción y la media

**a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 90%.** Primero, identificamos los datos que nos ofrece el enunciado para el cálculo de la proporción muestral: - Tamaño de la muestra total: $n = 90$ - Número de éxitos (ejemplares que llegan a adultos): $x = 64$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): Es el número de éxitos dividido por el total. $$\hat{p} = \frac{64}{90} \approx 0,7111$$ - Proporción complementaria ($\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,7111 = 0,2889$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ representa la probabilidad de éxito observada en nuestra muestra específica.

Para un nivel de confianza del $90\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$. 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$ 2. Significación: $\alpha = 1 - 0,90 = 0,10$ 3. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0,05$ 4. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. Mirando en la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor $0,95$ se encuentra exactamente entre $1,64$ y $1,65$. $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,645$ (para el $90\%$), $1,96$ (para el $95\%$) y $2,575$ (para el $99\%$).

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \; \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,7111 \cdot 0,2889}{90}} = 1,645 \cdot \sqrt{0,00228} \approx 1,645 \cdot 0,0478 = 0,0786$$ Ahora aplicamos los límites: - Límite inferior: $0,7111 - 0,0786 = 0,6325$ - Límite superior: $0,7111 + 0,0786 = 0,7897$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{90\%} = (0,6325, \; 0,7897)}$$

**b) Obtener un intervalo de confianza para el peso medio que alcanzan los ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 95%.** En este caso, la población de estudio son solo los ejemplares que llegaron a adultos. Extraemos los datos del enunciado: - Tamaño de la muestra (adultos): $n = 64$ - Media muestral: $\bar{x} = 3,1 \text{ kg}$ - Desviación típica: $\sigma = 0,5 \text{ kg}$ - Nivel de confianza: $95\%$ 💡 **Tip:** Asegúrate de usar el tamaño de muestra correcto. El enunciado dice que el peso medio se calculó sobre los que llegaron a la edad adulta ($64$ ejemplares).

Repetimos el proceso para el valor crítico, ahora con un nivel de confianza del $95\%$: 1. $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$ 2. $\alpha/2 = 0,025$ 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$. En las tablas de la Normal $N(0,1)$, la probabilidad $0,975$ corresponde exactamente a: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$

La fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$ es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \; \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error ($E$): $$E = 1,96 \cdot \frac{0,5}{\sqrt{64}} = 1,96 \cdot \frac{0,5}{8} = 1,96 \cdot 0,0625 = 0,1225$$ Límites del intervalo: - Límite inferior: $3,1 - 0,1225 = 2,9775$ - Límite superior: $3,1 + 0,1225 = 3,2225$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{95\%} = (2,9775, \; 3,2225)}$$