Distribución Normal e Inferencia Estadística

**a) Calcular la probabilidad de que una bombilla elegida al azar dure más de 450 horas.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo de duración de las bombillas en horas. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(500, 40)$$ Queremos calcular la probabilidad $P(X \gt 450)$. Para ello, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores: $$P(X \gt 450) = P\left(Z \gt \frac{450 - 500}{40}\right) = P\left(Z \gt \frac{-50}{40}\right) = P(Z \gt -1.25)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar, que siempre están centradas en 0 con desviación 1.

Como las tablas de la normal estándar suelen mostrar valores para $P(Z \le z)$ con $z$ positivo, aplicamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \gt -1.25) = P(Z \le 1.25)$$ Buscamos el valor $1.25$ en la tabla de la normal $N(0, 1)$: - Buscamos la fila **1.2** - Buscamos la columna **0.05** - El valor en la intersección es $0.8944$. Por tanto: $$P(X \gt 450) = 0.8944$$ La probabilidad de que una bombilla dure más de 450 horas es del **89.44%**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 450) = 0.8944}$$

**b) Para verificar la garantía del fabricante, se hizo una prueba con 49 bombillas obteniéndose una media muestral de 492 horas. ¿Podemos aceptar que la media de duración es de 500 horas, con un nivel de confianza del 90%?** En este apartado trabajamos con la **distribución de las medias muestrales**. Los datos son: - Media poblacional bajo hipótesis ($H_0$): $\mu = 500$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 40$ - Tamaño de la muestra: $n = 49$ - Media muestral observada: $\bar{x} = 492$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90$ Para decidir si aceptamos que la media es 500, construiremos un **intervalo de confianza** para la media poblacional a partir de la muestra y comprobaremos si el valor 500 cae dentro de él. 💡 **Tip:** Si el valor propuesto por el fabricante (500) está dentro del intervalo de confianza generado por nuestra muestra, aceptamos su afirmación.

Para un nivel de confianza del $90\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10$ 2. $\alpha/2 = 0.05$ 3. Buscamos el valor $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. Mirando las tablas, el valor para $0.95$ se encuentra entre $1.64$ y $1.65$, tomamos: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ Ahora calculamos el **error máximo admisible** ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{40}{\sqrt{49}} = 1.645 \cdot \frac{40}{7}$$ $$E \approx 1.645 \cdot 5.714 = 9.399$$ $$\boxed{E \approx 9.40}$$

El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (492 - 9.40, 492 + 9.40)$$ $$I.C. = (482.6, 501.4)$$ **Análisis:** Debemos comprobar si la media propuesta por el fabricante, $\mu = 500$, pertenece al intervalo calculado: $$500 \in (482.6, 501.4)$$ Como el valor 500 horas está contenido dentro del intervalo de confianza, hay evidencias suficientes para aceptar la garantía del fabricante con un nivel de confianza del $90\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, podemos aceptar que la media es de 500 horas.}}$$