Optimización de beneficios y comparación de gastos

**a) Si los ingresos, en cientos de euros, en función del número de trabajadores son $h(x) = 48x$. ¿Con que número de trabajadores maximiza el beneficio la primera fábrica?** El beneficio $B(x)$ se define como la diferencia entre la función de ingresos $h(x)$ y la función de gastos $f(x)$ de la primera fábrica: $$B(x) = h(x) - f(x)$$ Sustituimos las funciones dadas en el enunciado: $$B(x) = 48x - (x^2 - 12x + 14)$$ $$B(x) = 48x - x^2 + 12x - 14$$ $$B(x) = -x^2 + 60x - 14$$ Esta función representa el beneficio en cientos de euros para un número $x$ de trabajadores, con la restricción $x \ge 2$. 💡 **Tip:** Recuerda que el beneficio siempre es $\text{Ingresos} - ext{Costes}$. Ten cuidado con el signo menos delante del paréntesis de la función de gastos.

Para maximizar el beneficio, buscamos los puntos donde la derivada de la función $B(x)$ es igual a cero (puntos críticos). Calculamos la primera derivada: $$B'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 60x - 14) = -2x + 60$$ Igualamos a cero para hallar el valor de $x$: $$-2x + 60 = 0 \implies 2x = 60 \implies x = \frac{60}{2} = 30$$ El valor obtenido es **$x = 30$** trabajadores, el cual pertenece al dominio de la función ($30 \ge 2$).

Debemos comprobar que en $x = 30$ existe un máximo relativo. Podemos hacerlo estudiando el signo de la derivada a ambos lados del punto o usando la segunda derivada. **Estudio del signo de $B'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (2, 30) & 30 & (30, +\infty)\\ \hline B'(x) & + & 0 & - \\ B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Si $x < 30$, por ejemplo $x=10$, $B'(10) = -2(10)+60 = 40 > 0$ (la función crece). - Si $x > 30$, por ejemplo $x=40$, $B'(40) = -2(40)+60 = -20 < 0$ (la función decrece). Al pasar de crecer a decrecer, confirmamos que hay un máximo en $x = 30$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{30 \text{ trabajadores}}$$

**b) Si lo que se quiere es tener el mismo gasto en las dos fábricas, ¿con que número de trabajadores se consigue?** Para que ambas fábricas tengan el mismo gasto, debemos igualar sus funciones de costes: $$f(x) = g(x)$$ Sustituimos las expresiones dadas: $$x^2 - 12x + 14 = x^2 + 18x + 2$$ Simplificamos la ecuación restando $x^2$ en ambos lados: $$-12x + 14 = 18x + 2$$

Agrupamos los términos con $x$ en un lado y los términos independientes en el otro: $$14 - 2 = 18x + 12x$$ $$12 = 30x$$ $$x = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0.4$$ Ahora debemos comprobar si este resultado es válido según las restricciones del problema. El enunciado especifica que las funciones solo son válidas para **$x \ge 2$**. Como $0.4 < 2$, el valor obtenido está fuera del dominio de definición de las funciones de gasto de la empresa. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, es fundamental comprobar que la solución matemática obtenida cumple con las restricciones del dominio (en este caso, el número mínimo de trabajadores). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún número de trabajadores (dentro del dominio } x \ge 2) \text{ para el cual los gastos sean iguales}}$$