Problema de empaquetado mediante sistemas de ecuaciones

Para resolver este problema, lo primero que debemos hacer es asignar una variable a cada una de las incógnitas que nos pide el enunciado. Llamamos: - $x$: número de cajas de 5 unidades. - $y$: número de cajas de 10 unidades. - $z$: número de cajas de 25 unidades. 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el paso más importante para no confundirse al plantear las ecuaciones.

A partir del enunciado, extraemos las relaciones entre las variables para formar el sistema: 1. **Total de unidades:** La suma de los artículos en todas las cajas debe ser 1500. $$5x + 10y + 25z = 1500$$ 2. **Relación entre cajas de 5 y 10 unidades:** Hay el triple de cajas de 5 que de 10. $$x = 3y \implies x - 3y = 0$$ 3. **Total de cajas:** La suma de todas las cajas es 90. $$x + y + z = 90$$ El sistema a resolver es: $$\begin{cases} 5x + 10y + 25z = 1500 \\ x - 3y = 0 \\ x + y + z = 90 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Podemos simplificar la primera ecuación dividiendo todo entre 5 para facilitar los cálculos: $$x + 2y + 5z = 300$$

Dado que tenemos una relación directa $x = 3y$, el método de sustitución es el más rápido. Sustituimos $x$ en las otras dos ecuaciones: 1. En la ecuación simplificada del total de unidades: $$(3y) + 2y + 5z = 300 \implies 5y + 5z = 300$$ Dividiendo entre 5: **$y + z = 60$** 2. En la ecuación del total de cajas: $$(3y) + y + z = 90 \implies 4y + z = 90$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} y + z = 60 \\ 4y + z = 90 \end{cases}$$ Restamos la primera a la segunda para eliminar $z$: $$(4y + z) - (y + z) = 90 - 60$$ $$3y = 30 \implies \mathbf{y = 10}$$ 💡 **Tip:** Cuando una variable ya está despejada ($x=3y$), la sustitución suele ser menos propensa a errores que otros métodos.

Una vez hallado el valor de $y$, calculamos $x$ y $z$ utilizando las relaciones anteriores: - Para **$x$**: $$x = 3y = 3(10) = 30$$ - Para **$z$**: Usamos $y + z = 60$: $$10 + z = 60 \implies z = 50$$ **Comprobación:** - Cajas totales: $30 + 10 + 50 = 90$ (Correcto) - Unidades totales: $5(30) + 10(10) + 25(50) = 150 + 100 + 1250 = 1500$ (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Cajas de 5 unidades: } 30 \\ \text{Cajas de 10 unidades: } 10 \\ \text{Cajas de 25 unidades: } 50 \end{matrix}}$$