Distribución Binomial y Aproximación a la Normal

**a) ¿Cuál será el número esperado de respuestas correctas?** En primer lugar, identificamos el tipo de experimento. Tenemos $n = 100$ preguntas independientes, donde cada pregunta tiene solo dos resultados posibles: acierto o fallo. Al contestar al azar entre dos opciones, la probabilidad de acertar es la misma en cada pregunta. Definimos la variable aleatoria: $X$: número de respuestas correctas obtenidas en las 100 preguntas. Esta variable sigue una **distribución binomial** con los siguientes parámetros: - $n = 100$ (número de preguntas o ensayos). - $p = 0.5$ (probabilidad de éxito: acertar una pregunta al azar, $1/2$). - $q = 1 - p = 0.5$ (probabilidad de fracaso: fallar la pregunta). Por tanto, $X \sim B(100, 0.5)$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial se utiliza cuando realizamos un número fijo de pruebas independientes, cada una con una probabilidad constante de éxito.

El número esperado de respuestas correctas es, por definición, la media o esperanza matemática de la distribución. Para una distribución binomial $B(n, p)$, la media se calcula como: $$\mu = E[X] = n \cdot p$$ Sustituimos nuestros valores: $$\mu = 100 \cdot 0.5 = 50$$ ✅ **Resultado (esperado):** $$\boxed{50 \text{ respuestas correctas}}$$

**b) ¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba?** Para superar la prueba se requieren al menos 60 aciertos, por lo que buscamos $P(X \ge 60)$. Como $n$ es un valor grande, calcular la suma de las probabilidades binomiales desde 60 hasta 100 sería extremadamente complejo. Por ello, comprobamos si es posible realizar una **aproximación a la distribución Normal**. Condiciones de aproximación: 1. $n \cdot p = 100 \cdot 0.5 = 50 \ge 5$ 2. $n \cdot q = 100 \cdot 0.5 = 50 \ge 5$ Como ambas condiciones se cumplen, podemos aproximar la variable binomial $X$ por una variable normal $Y \sim N(\mu, \sigma)$ con: - $\mu = n \cdot p = 50$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5$ Así, trabajaremos con $Y \sim N(50, 5)$. 💡 **Tip:** La aproximación de una binomial a una normal (teorema de De Moivre-Laplace) simplifica enormemente los cálculos cuando el número de ensayos es elevado.

Al pasar de una variable discreta ($X$) a una continua ($Y$), debemos aplicar la **corrección por continuidad (o de Yates)**. Para incluir el valor 60 en el cálculo de "al menos 60", restamos $0.5$ al límite inferior: $$P(X \ge 60) \approx P(Y \ge 59.5)$$ Ahora, tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, utilizando la fórmula $Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$: $$P(Y \ge 59.5) = P\left(Z \ge \frac{59.5 - 50}{5}\right)$$ $$P\left(Z \ge \frac{9.5}{5}\right) = P(Z \ge 1.9)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite transformar cualquier normal en la normal estándar para poder consultar las tablas de probabilidad.

Para hallar $P(Z \ge 1.9)$, utilizamos la propiedad del suceso complementario, ya que la tabla estándar nos da áreas a la izquierda: $$P(Z \ge 1.9) = 1 - P(Z \le 1.9)$$ Buscamos el valor $1.9$ en la tabla de la distribución $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.9) = 0.9713$$ Realizamos la resta final: $$P = 1 - 0.9713 = 0.0287$$ Esto significa que la probabilidad de superar la prueba contestando al azar es de un $2.87\%$. ✅ **Resultado (probabilidad de superar la prueba):** $$\boxed{0.0287}$$