Distribución de la media muestral e Intervalos de confianza

**a) Si la altura media de dichos habitantes fuera 175 cm., ¿cuál sería la probabilidad de que la altura media de una muestra de 100 individuos tomada al azar fuera superior a 176 cm?** Primero, definimos la variable aleatoria poblacional $X$, que representa la altura de los habitantes: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(175, 8)$$ Cuando tomamos muestras de tamaño $n = 100$, la media muestral $\bar{X}$ también sigue una distribución normal, pero con una desviación típica menor (el error típico). La fórmula de la distribución de la media muestral es: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{8}{\sqrt{100}} = \frac{8}{10} = 0.8$$ Por tanto, la media muestral se distribuye como: $$\boxed{\bar{X} \sim N(175, 0.8)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media de la muestra siempre es menos variable que los datos individuales. Por eso dividimos la desviación típica entre $\sqrt{n}$.

Queremos hallar la probabilidad de que la media de la muestra sea superior a 176 cm, es decir, $p(\bar{X} \gt 176)$. Para ello, tipificamos la variable usando $Z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$p(\bar{X} \gt 176) = p\left(Z \gt \frac{176 - 175}{0.8}\right) = p\left(Z \gt \frac{1}{0.8}\right) = p(Z \gt 1.25)$$ Como las tablas de la normal nos dan la probabilidad acumulada hacia la izquierda, aplicamos el complementario: $$p(Z \gt 1.25) = 1 - p(Z \le 1.25)$$ Buscamos el valor $1.25$ en la tabla de la distribución $N(0,1)$: $$p(Z \le 1.25) = 0.8944$$ Sustituimos: $$1 - 0.8944 = 0.1056$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(\bar{X} \gt 176) = 0.1056}$$

**b) Considerando una muestra aleatoria de 100 individuos de esta ciudad se obtiene una altura media de 178 cm. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la altura media de los habitantes de esta ciudad.** En este apartado, la media poblacional $\mu$ es desconocida y queremos estimarla. Disponemos de los siguientes datos de la muestra: - Media muestral: $\bar{x} = 178 \text{ cm}$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 8 \text{ cm}$ - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$\left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ 💡 **Tip:** El intervalo siempre se construye sumando y restando el error máximo a la media obtenida en la muestra.

Para un nivel de confianza del $95\%$ ($0.95$), calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos la probabilidad acumulada hasta el valor crítico: $1 - \alpha/2 = 0.975$. Buscamos en el interior de la tabla $N(0,1)$ el valor de probabilidad $0.9750$ y vemos a qué valor de $Z$ corresponde: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{8}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot 0.8 = 1.568$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando este error a la media muestral $\bar{x} = 178$: - Límite inferior: $178 - 1.568 = 176.432$ - Límite superior: $178 + 1.568 = 179.568$ ✅ **Resultado:** El intervalo de confianza al $95\%$ es: $$\boxed{I.C. = (176.432, 179.568)}$$