Contraste de hipótesis para una proporción

**a) ¿Puede aceptarse, con un nivel de significación del 5% que A tendrá representación parlamentaria?** En primer lugar, extraemos los datos del enunciado para realizar un contraste de hipótesis sobre la proporción poblacional $p$: - Tamaño de la muestra: $n = 1000$ - Número de éxitos (votos al partido A): $x = 36$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{36}{1000} = 0.036$ - Proporción a contrastar: $p_0 = 0.05$ (el 5% necesario para obtener representación). Queremos contrastar si el partido A llega al menos al 5% de los votos. Planteamos las hipótesis: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \ge 0.05$ (El partido A obtiene representación). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \lt 0.05$ (El partido A no obtiene representación). Estamos ante un **contraste unilateral a la izquierda**. 💡 **Tip:** La hipótesis nula $H_0$ suele ser la que contiene el signo de igualdad o la afirmación que queremos verificar (en este caso, que se llega al mínimo legal).

Como el tamaño de la muestra es suficientemente grande ($n \cdot p_0 \gt 5$ y $n \cdot q_0 \gt 5$), la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal. El estadístico de contraste es: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ Calculamos el error típico: $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.05 \cdot (1 - 0.05)}{1000}} = \sqrt{\frac{0.05 \cdot 0.95}{1000}} = \sqrt{\frac{0.0475}{1000}} \approx 0.00689$$ Ahora calculamos el valor de $Z$ observado: $$Z_{obs} = \frac{0.036 - 0.05}{0.00689} = \frac{-0.014}{0.00689} \approx -2.03$$ 💡 **Tip:** El valor $Z$ indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestro resultado muestral del valor esperado según la hipótesis nula.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.05$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$, buscamos el valor que deja un área de $0.95$ a su izquierda: $$P(Z \lt 1.645) = 0.95 \implies -z_{\alpha} = -1.645$$ La **región crítica** (zona de rechazo) es el intervalo $(-\infty, -1.645)$. Comparamos nuestro estadístico: $$Z_{obs} = -2.03 \lt -1.645$$ Como el valor cae dentro de la región crítica, **rechazamos $H_0$**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{No puede aceptarse que obtendrá representación con un nivel de significación del 5%}}$$

**b) ¿Cuál es la respuesta al apartado anterior si el nivel de significación es del 1%?** Si cambiamos el nivel de significación a $\alpha = 0.01$, debemos encontrar el nuevo valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.01$. Buscamos en la tabla el valor que deja un área de $0.99$ a su izquierda: $$P(Z \lt 2.33) = 0.99 \implies -z_{\alpha} = -2.33$$ La nueva **región crítica** es el intervalo $(-\infty, -2.33)$. Comparamos de nuevo nuestro estadístico calculado anteriormente: $$Z_{obs} = -2.03 \gt -2.33$$ En este caso, el valor **no cae** en la región crítica. Por lo tanto, no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula. 💡 **Tip:** Al disminuir el nivel de significación (del 5% al 1%), somos más exigentes para rechazar la hipótesis nula, por lo que la zona de aceptación se vuelve más grande. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Sí puede aceptarse que obtendrá representación con un nivel de significación del 1%}}$$