Optimización de beneficios de producción

**a) Hallar el precio de venta si se producen 12 unidades.** El enunciado nos da la función del precio de venta por unidad, que denotaremos como $p(x)$: $$p(x) = 50 - \frac{x}{2}$$ Para hallar el precio cuando se producen $x = 12$ unidades, simplemente sustituimos dicho valor en la función: $$p(12) = 50 - \frac{12}{2} = 50 - 6 = 44$$ 💡 **Tip:** El precio unitario es la cantidad de dinero que se recibe por cada una de las piezas vendidas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{44 \text{ euros/unidad}}$$

**b) Determinar los ingresos al producir 12 unidades.** Los ingresos totales, $I(x)$, se obtienen multiplicando el número de unidades producidas ($x$) por el precio de venta de cada unidad ($p(x)$): $$I(x) = x \cdot p(x) = x \cdot \left(50 - \frac{x}{2}\right) = 50x - \frac{x^2}{2}$$ Sustituimos $x = 12$ para calcular los ingresos específicos: $$I(12) = 50(12) - \frac{12^2}{2} = 600 - \frac{144}{2} = 600 - 72 = 528$$ 💡 **Tip:** No confundas ingresos con beneficios. El ingreso es el dinero total que entra en caja por las ventas, antes de restar los costes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{528 \text{ euros}}$$

**c) Determinar los beneficios al producir 12 unidades.** El beneficio $B(x)$ es la diferencia entre los ingresos totales $I(x)$ y los costes de producción $C(x)$: $$B(x) = I(x) - C(x)$$ Primero, calculamos el coste de producción para $x = 12$ usando la función de coste $C(x) = x^2 + 5x + 25$: $$C(12) = 12^2 + 5(12) + 25 = 144 + 60 + 25 = 229$$ Ahora restamos este coste a los ingresos obtenidos en el apartado anterior: $$B(12) = I(12) - C(12) = 528 - 229 = 299$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{299 \text{ euros}}$$

**d) Establecer el número de unidades que deben venderse diariamente para que el beneficio sea máximo.** Para maximizar el beneficio, primero debemos definir la función de beneficio general $B(x)$: $$B(x) = I(x) - C(x) = \left(50x - \frac{x^2}{2}\right) - (x^2 + 5x + 25)$$ Simplificamos la expresión: $$B(x) = 50x - 0.5x^2 - x^2 - 5x - 25 = -1.5x^2 + 45x - 25$$ Para hallar el máximo, calculamos la derivada $B'(x)$ e igualamos a cero: $$B'(x) = -3x + 45$$ $$-3x + 45 = 0 \implies 3x = 45 \implies x = 15$$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero se llaman puntos críticos y son candidatos a ser máximos o mínimos.

Para confirmar que en $x = 15$ hay un máximo, estudiamos el signo de la derivada $B'(x)$ alrededor de dicho punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 15) & 15 & (15, +\infty) \\ \hline B'(x) & + & 0 & - \\ \hline B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $x=15$ y decrece después, confirmamos que es un máximo relativo. También podríamos usar la segunda derivada: $$B''(x) = -3$$ Como $B''(15) = -3 < 0$, por el criterio de la segunda derivada, en $x=15$ existe un **máximo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{15 \text{ unidades}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "beneficio", "latex": "B(x) = -1.5x^2 + 45x - 25", "color": "#2563eb" }, { "id": "max_punto", "latex": "(15, 312.5)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Máximo (15 u)" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 32, "bottom": -50, "top": 350 } } }