Optimización de costes de almacenaje de fruta

**a) ¿Cuántas toneladas habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo?** En primer lugar, definimos las variables del problema basándonos en las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de toneladas de manzanas. - $y$: número de toneladas de naranjas. A continuación, definimos la **función objetivo**, que representa el gasto total de almacenaje $G(x, y)$ que queremos minimizar (en el apartado a) y maximizar (en el apartado b): $$G(x, y) = 9x + 30y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables y la función que relaciona los costes o beneficios antes de plantear las restricciones.

Traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas para formar el sistema de restricciones: 1. **Mínimo de manzanas:** Debe haber al menos 20 toneladas. $$x \ge 20$$ 2. **Relación manzanas-naranjas:** Las manzanas ($x$) no deben ser inferiores a la mitad de las naranjas ($y/2$). $$x \ge \frac{y}{2} \implies 2x \ge y \implies y \le 2x$$ 3. **Capacidad total:** La suma de ambas no puede superar las 90 toneladas. $$x + y \le 90$$ 4. **No negatividad:** Aunque $x \ge 20$ ya lo implica, las toneladas de naranjas no pueden ser negativas. $$y \ge 0$$ El sistema de restricciones es: $$\begin{cases} x \ge 20 \\ y \le 2x \\ x + y \le 90 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, recuerda que las cantidades físicas suelen ser siempre no negativas ($x, y \ge 0$).

Para encontrar los puntos donde el gasto puede ser máximo o mínimo, representamos la región factible y calculamos sus vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones asociados a las rectas: - **Vértice A:** Intersección de $x = 20$ e $y = 0$. $$A(20, 0)$$ - **Vértice B:** Intersección de $y = 0$ y $x + y = 90$. Si $y=0$, entonces $x=90$. $$B(90, 0)$$ - **Vértice C:** Intersección de $x + y = 90$ e $y = 2x$. Sustituyendo $y$: $x + 2x = 90 \implies 3x = 90 \implies x = 30$. Si $x=30$, entonces $y=2(30)=60$. $$C(30, 60)$$ - **Vértice D:** Intersección de $x = 20$ e $y = 2x$. Si $x=20$, entonces $y=2(20)=40$. $$D(20, 40)$$ La región factible es el polígono con vértices en $A, B, C$ y $D$.

Evaluamos la función objetivo $G(x, y) = 9x + 30y$ en cada uno de los vértices para determinar el gasto mínimo solicitado en el apartado a): - $G(A) = G(20, 0) = 9(20) + 30(0) = 180 \text{ euros.}$ - $G(B) = G(90, 0) = 9(90) + 30(0) = 810 \text{ euros.}$ - $G(C) = G(30, 60) = 9(30) + 30(60) = 270 + 1800 = 2070 \text{ euros.}$ - $G(D) = G(20, 40) = 9(20) + 30(40) = 180 + 1200 = 1380 \text{ euros.}$ El valor mínimo se alcanza en el punto $A(20, 0)$. ✅ **Resultado (Gasto mínimo):** $$\boxed{\text{Para un gasto mínimo de 180€, se deben almacenar 20t de manzanas y 0t de naranjas}}$$

**b) ¿Y para que sea máximo?** Utilizando los cálculos realizados en el paso anterior, comparamos los valores obtenidos en los vértices: - $G(A) = 180$ - $G(B) = 810$ - $G(C) = 2070$ - $G(D) = 1380$ El valor máximo se alcanza en el punto $C(30, 60)$, con un gasto total de $2070$ euros. ✅ **Resultado (Gasto máximo):** $$\boxed{\text{Para un gasto máximo de 2070€, se deben almacenar 30t de manzanas y 60t de naranjas}}$$ 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el óptimo (máximo o mínimo) se encuentra siempre en un vértice de la región factible o en un segmento que une dos vértices.