Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Determinar el intervalo de confianza para el precio/día medio de una habitación doble en un hotel de cuatro estrellas en Canarias con un nivel de confianza del 97%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 64$ - Media muestral: $\bar{x} = 56$ € - Desviación típica poblacional (o de la muestra, al ser $n$ grande): $\sigma = 6$ € - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $97\%$: 1. Si $1 - \alpha = 0,97$, entonces $\alpha = 0,03$. 2. Dividimos el riesgo en las dos colas de la distribución: $\alpha/2 = 0,015$. 3. Buscamos en la tabla de la Normal el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,9850$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que el valor que corresponde exactamente a una probabilidad de $0,9850$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** El nivel de confianza del $97\%$ deja un $1,5\%$ de probabilidad en cada extremo (cola) de la campana de Gauss. Por eso buscamos el valor cuya probabilidad acumulada sea $0,9850$.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,17 \cdot \frac{6}{\sqrt{64}} = 2,17 \cdot \frac{6}{8} = 2,17 \cdot 0,75 = 1,6275$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $56 - 1,6275 = 54,3725$ - Límite superior: $56 + 1,6275 = 57,6275$ ✅ **Resultado (intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (54,3725, \; 57,6275)}$$ El precio medio de la habitación doble en Canarias se encuentra entre **54,37 €** y **57,63 €** con una confianza del $97\%$.

**b) Hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar para que el error máximo sea de 2€, con un nivel de significación del 1%.** En este apartado nos cambian las condiciones: - Error máximo permitido: $E = 2$ € - Nivel de significación: $\alpha = 1\% = 0,01$ - Desviación típica: $\sigma = 6$ € Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $\alpha = 0,01$, entonces $\alpha/2 = 0,005$. 2. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,9950$$ Mirando las tablas de la normal, el valor $0,9950$ se encuentra justo a la mitad entre $z=2,57$ ($0,9949$) y $z=2,58$ ($0,9951$): $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,575}$$ 💡 **Tip:** El nivel de significación $\alpha$ representa la probabilidad de estar fuera del intervalo. Un nivel de significación del $1\%$ equivale a un nivel de confianza del $99\%$.

Utilizamos la fórmula del error despejando el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n = \left( \frac{2,575 \cdot 6}{2} \right)^2 = (2,575 \cdot 3)^2 = (7,725)^2 = 59,675625$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de $2$ €, siempre debemos redondear hacia el siguiente número entero. ✅ **Resultado (tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 60}$$ Se deben tomar al menos **60 hoteles** para que el error no supere los $2$ € con ese nivel de confianza.